Identifique e esboce as cônicas a seguir, explicando as suas escolhas.
\frac{3(x-1)^{2}}{4}-\frac{5(y+1)^{2}}{9}=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{3(x-1)^{2}}{4} \;-\;\frac{5(y+1)^{2}}{9} \;=\;1
e pede para identificarmos que tipo de cônica é e esboçá-la. Vamos reconhecer o padrão, encontrar o centro, os semi-eixos e as assíntotas, e então desenhar a hipérbole.

Passo 2

Para pôr em forma padrão, note que
\frac{3(x-1)^{2}}{4} \;=\;\frac{(x-1)^{2}}{4/3} \quad,\quad \frac{5(y+1)^{2}}{9} \;=\;\frac{(y+1)^{2}}{9/5}\,.
Logo a equação fica
\frac{(x-1)^{2}}{4/3} \;-\;\frac{(y+1)^{2}}{9/5} \;=\;1.
Isto é exatamente o padrão de uma hipérbole com eixo transverso horizontal.

Passo 3

Da forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1
vemos que
h=1,\quad k=-1,\quad a^{2}=\tfrac{4}{3},\quad b^{2}=\tfrac{9}{5}.
Portanto o centro é (1,-1),
a = \sqrt{\tfrac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt3}, \quad b = \sqrt{\tfrac{9}{5}} = \frac{3}{\sqrt5}.

Passo 4

Como o sinal positivo está no termo de (x-1)^{2}, a hipérbole abre para a esquerda e para a direita. Os vértices são obtidos fazendo x-1=\pm a com y=-1, ou seja
\bigl(1\pm \tfrac{2}{\sqrt3},\,-1\bigr).

Passo 5

As assíntotas vêm da reta que passa pelo centro e tem coeficiente angular \pm b/a. Calculamos
\frac{b}{a} =\sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}}} =\sqrt{\frac{9/5}{4/3}} =\sqrt{\frac{27}{20}} =\frac{3\sqrt{15}}{10}.
Assim as equações das assíntotas são
y+1 = \pm \frac{3\sqrt{15}}{10}\,(x-1).

Resposta

A cônica é uma hipérbole centrada em (1,-1) com semi-eixos
a=\frac{2}{\sqrt3},\quad b=\frac{3}{\sqrt5},
vértices em \bigl(1\pm \tfrac{2}{\sqrt3},-1\bigr) e assíntotas
y+1 = \pm \frac{3\sqrt{15}}{10}(x-1).
O esboço mostra o centro em (1,-1), os dois vértices à mesma altura e os ramos que se aproximam das retas acima como assíntotas.

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