Mostre que se f é uma função diferenciável em \left(x_{0}, y_{0}\right) e \gamma é uma curva diferenciável em t_{0}, cuja imagem está contida no gráfico de f e tal que \gamma\left(t_{0}\right)=\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right), então a reta tangente a \gamma no ponto \gamma\left(t_{0}\right) está contida no plano tangente ao gráfico de f no ponto \gamma\left(t_{0}\right).
11. Se f aplicada em qualquer ponto X=(x, y) é uma função real da sua distância a O=(0,0), isto é, f(X)=g(r), onde \vec{r}=(x, y) e r=\|\vec{r}\|, mostre que \nabla f=\frac{g^{\prime}(r)}{r} \vec{r}.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, seja f diferenciável em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)) uma curva diferenciável em t_{0} cuja imagem está contida no gráfico de f e satisfaz \gamma(t_{0})=(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})). Queremos mostrar que a reta tangente a \gamma em t_{0} está dentro do plano tangente ao gráfico de f em \gamma(t_{0}).
Em seguida, suponha que
f(x,y)=g(r), \quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
e mostre que
\nabla f(x,y)=\frac{g'(r)}{r}\,(x,y).

Passo 2

Como \gamma percorre o gráfico de f, temos
z(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr).
A derivada em t_{0} é
\gamma'(t_{0}) =\bigl(x'(t_{0}),\,y'(t_{0}),\,z'(t_{0})\bigr) =\bigl(x'(t_{0}),\,y'(t_{0}),\,f_{x}x'(t_{0})+f_{y}y'(t_{0})\bigr),
onde f_{x},f_{y} são avaliados em \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e escrevemos abreviado f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}), f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}).

Passo 3

O plano tangente ao gráfico de f em \bigl(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})\bigr) tem vetor normal
\mathbf{n} =\bigl(-f_{x},\,-f_{y},\,1\bigr).
Um vetor v=(v_{1},v_{2},v_{3}) pertence a esse plano se e somente se \mathbf{n}\cdot v=0.
Para v=\gamma'(t_{0}) calculamos
\mathbf{n}\cdot \gamma'(t_{0}) =-f_{x}x'(t_{0})-f_{y}y'(t_{0})+ \bigl(f_{x}x'(t_{0})+f_{y}y'(t_{0})\bigr) =0.
Logo \gamma'(t_{0}) é ortogonal a \mathbf{n}, isto é, está no plano tangente. Como a reta tangente à curva é justamente a linha que tem direção \gamma'(t_{0}), concluímos que essa reta fica contida no plano tangente ao gráfico de f.

Passo 4

Agora seja f(x,y)=g(r) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Usando a regra da cadeia:
f_{x} =g'(r)\,\frac{\partial r}{\partial x} \quad\text{e}\quad f_{y} =g'(r)\,\frac{\partial r}{\partial y}.
Como \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r} e \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}, obtemos
f_{x} =\;g'(r)\,\frac{x}{r}, \quad f_{y} =\;g'(r)\,\frac{y}{r}.
Portanto
\nabla f(x,y) =(f_{x},f_{y}) =\frac{g'(r)}{r}\,(x,y).

Resposta

A reta tangente a \gamma em t_{0} está contida no plano tangente ao gráfico de f porque seu vetor diretor \gamma'(t_{0}) é ortogonal ao normal \bigl(-f_{x},-f_{y},1\bigr) do plano.
Para f(x,y)=g(r) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} vale
\nabla f(x,y) =\frac{g'(r)}{r}\,(x,y).

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