Mostre que se
é uma função diferenciável em
e
é uma curva diferenciável em
, cuja imagem está contida no gráfico de
e tal que
, então a reta tangente a
no ponto
está contida no plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
11. Se
aplicada em qualquer ponto
é uma função real da sua distância a
, isto é,
, onde
e
, mostre que
.
11. Se
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, seja
diferenciável em
e
uma curva diferenciável em
cuja imagem está contida no gráfico de
e satisfaz
. Queremos mostrar que a reta tangente a
em
está dentro do plano tangente ao gráfico de
em
.
Em seguida, suponha que
Em seguida, suponha que
e mostre que
Passo 2
Como
percorre o gráfico de
, temos
A derivada em
é
onde
são avaliados em
e escrevemos abreviado
,
.
Passo 3
O plano tangente ao gráfico de
em
tem vetor normal
Um vetor
pertence a esse plano se e somente se
.
Para calculamos
Para
Logo
é ortogonal a
, isto é, está no plano tangente. Como a reta tangente à curva é justamente a linha que tem direção
, concluímos que essa reta fica contida no plano tangente ao gráfico de
.
Passo 4
Agora seja
com
. Usando a regra da cadeia:
Como
e
, obtemos
Portanto
Resposta
A reta tangente a
em
está contida no plano tangente ao gráfico de
porque seu vetor diretor
é ortogonal ao normal
do plano.
Para com
vale
Para