a) determinada pelo ponto e pelo vetor ;
b) determinada pelos pontos e ;
c) possui o ponto e é paralela à reta definida pelo ponto e pelo vetor diretor ;
d) possui o ponto e é paralela à reta determinada pelos pontos e ;
e) possui o ponto e é paralela à reta de equação : ;
f) possui o ponto e é paralela ao vetor ;
g) possui o ponto e é paralela ao vetor ;
h) possui o ponto e é paralela ao eixo ;
i) possui o ponto e é paralela ao eixo .
RESP: a)
b) P=(2,-1,3)+m(1,2,-5),lx=2+m y=-1+m z=3-5 m, x-3=y=z+2-5,ly=x-3 z=-5 x+13;
c) P=(1,-2,3)+m(2,-2,3), lx=1+2 m y=-2-2 m z=3+3 m, x-12=y+2-2=x-33, lx=-y-1 z=32 y;
d) P=(1,5,-2)+m(3,1,0), lx=1+3 m y=5+m z=-2, x-13=y-5 ; z=-2;
e) P=(2,1,0)=m(-5,3,2), lx=2-5 m y=1+3 m z=2 m, x-2-5=y-13=z2, lx=-5 z+42 y=3 z+22;
f) P=(-6,7,9)=m(1,0,1),lx=-6+m y=7 z=9+m, x+6=z-9 ; y=7;
g) P=(0,0,4)+m(8,3,0),lx=8 m y=3 m z=4 , x8=y3 ; z=4;
h) P=(2,-2,1)=m(1,0,0),ly=-2 z=1;
i) P=(8,0,-11)=m(0,0,1) , lx=8 y=0.
Passo 1
O enunciado pede para determinarmos a equação de retas em R^3 em várias situações: definidas por um ponto e vetor, por dois pontos, ou pedindo paralelismo a outra reta ou a um eixo. Vamos usar sempre a forma vetorial
r(t)=l(x0,y0,z0r)+t,(v1,v2,v3),
as equações paramétricas
x=x0+tv1, y=y0+tv2, z=z0+tv3
e, quando possível, a forma simétrica
x-x0v1=y-y0v2=z-z0v3
Para duas retas paralelas, tomamos o mesmo vetor diretor; para reta definida por dois pontos A e B, usamos v=B-A.
Passo 2
a) Dados A=(1,-2,1) e v=(3,1,4).
Equação vetorial:
r(t)=(1,-2,1)+t,(3,1,4)
Paramétricas:
x=1+3t, y=-2+t, z=1+4t
Simétrica:
x-13=y+21=z-14
Passo 3
b) Pontos A=(2,-1,3), B=(3,0,-2). Vetor diretor v=B-A=(1,1,-5).
r(t)=(2,-1,3)+t,(1,1,-5),
x=2+t, y=-1+t, z=3-5t,
x-21=y+11=z-3-5
Passo 4
c) Ponto A=(1,-2,3), paralela à reta de ponto B=(2,0,1) e vetor (2,-2,3). Vetor diretor v=(2,-2,3).
r(t)=(1,-2,3)+t,(2,-2,3),
x=1+2t, y=-2-2t, z=3+3t,
x-12=y+2-2=z-33
Passo 5
d) Ponto M=(1,5,-2), paralela à reta por A=(5,-2,3) e B=(-1,-4,3). Vetor diretor v=B-A=(-6,-2,0), que simplifica para (3,1,0).
r(t)=(1,5,-2)+t,(3,1,0),
x=1+3t, y=5+t, z=-2,
x-13=y-51, z=-2
Passo 6
e) Ponto A=(2,1,0), paralela à reta x+2-5=y+43=z-12.
Vetor diretor v=(-5,3,2).
r(t)=(2,1,0)+t,(-5,3,2),
x=2-5t, y=1+3t, z=2t,
x-2-5=y-13=z2
Passo 7
f) Ponto A=(-6,7,9), paralela ao vetor v=(-2,0,-2).
r(t)=(-6,7,9)+t,(-2,0,-2),
x=-6-2t, y=7, z=9-2t,
x+6-2=z-9-2, y=7
Passo 8
g) Ponto A=(0,0,4), paralelo a v=(8,3,0).
r(t)=(0,0,4)+t,(8,3,0),
x=8t, y=3t, z=4,
x8=y3, z=4
Passo 9
h) Ponto A=(2,-2,1), paralela ao eixo OX. Vetor diretor (1,0,0).
r(t)=(2,-2,1)+t,(1,0,0),
x=2+t, y=-2, z=1,
y=-2, z=1
Passo 10
i) Ponto A=(8,0,-11), paralela ao eixo OZ. Vetor diretor (0,0,1).
r(t)=(8,0,-11)+t,(0,0,1),
x=8, y=0, z=-11+t,
x=8, y=0
Resposta
a) r(t)=(1,-2,1)+t(3,1,4), ;x=1+3t,;y=-2+t,;z=1+4t, ;x-13=y+21=z-14.
b) r(t)=(2,-1,3)+t(1,1,-5), ;x=2+t,;y=-1+t,;z=3-5t, ;x-21=y+11=z-3-5.
c) r(t)=(1,-2,3)+t(2,-2,3), ;x=1+2t,;y=-2-2t,;z=3+3t, ;x-12=y+2-2=z-33.