Verificar as seguintes igualdades:
sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn 5^n=ln (75)

Passo 1

Vamos verificar se a soma infinita sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn 5^n é igual a ln (75). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observamos que 2^n/5^n = (2/5)^n. Então, a soma fica:
sumn=1^infty (-1)^n+1 (2/5)^nn

Passo 3

Reconhecemos que essa soma é uma série alternada da forma sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn, onde x = 2/5. Essa série é conhecida por convergir para ln(1 + x) quando |x| <= 1.

Passo 4

Aplicando a fórmula da série, temos:
sumn=1^infty (-1)^n+1 (2/5)^nn = ln(1 + 2/5)

Passo 5

Calculando o logaritmo, obtemos:
ln(1 + 25) = ln(5 + 25) = ln(75)

Resposta

Portanto, sumn=1^infty (-1)^n+1 2^nn 5^n = ln (75).

Exercícios relacionados