Se A, B e C são operadores Hermitianos, transforme as seguintes expressões de maneira a eliminar as “adagas”
c) (A B+B A)^dag>=r

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos operadores hermitianos A, B e C e queremos eliminar o adjunto na expressão (AB + BA)^dag>=r. O conteúdo envolve propriedades de adjunção de soma e produto e o fato de operadores hermitianos satisfazerem A^dag>=r = A e B^dag>=r = B.

Passo 2

Usamos a propriedade de adjunto de soma: para quaisquer operadores X e Y vale (X + Y)^dag>=r = X^dag>=r + Y^dag>=r. Aplicando isso em (AB + BA)^dag>=r obtemos (AB)^dag>=r + (BA)^dag>=r.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de adjunto de produto: para quaisquer X e Y vale (XY)^dag>=r = Y^dag>=r X^dag>=r. Portanto (AB)^dag>=r = B^dag>=r A^dag>=r e (BA)^dag>=r = A^dag>=r B^dag>=r.

Passo 4

Como A e B são hermitianos, temos A^dag>=r = A e B^dag>=r = B. Logo (AB)^dag>=r = BA e (BA)^dag>=r = AB.

Passo 5

Somando os resultados, ficamos com BA + AB, que por comutatividade de soma é o mesmo que AB + BA. Assim eliminamos o adjunto completamente.

Resposta

AB + BA

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