Se A, B e C são operadores Hermitianos, transforme as seguintes expressões de maneira a eliminar as “adagas”
e) (i[A, B])^dag>=r

Passo 1

A questão pede para calcular (i[A,B])^dag>=r sabendo que A e B são operadores Hermitianos. O conteúdo envolve propriedades de adjunto (dagger), escalares complexos e comutadores.

Passo 2

Para operadores e escalares complexos vale a propriedade
(cX)^dag>=r = c^*,X^dag>=r
além de
(X+Y)^dag>=r = X^dag>=r + Y^dag>=r,
(XY)^dag>=r = Y^dag>=rX^dag>=r

Passo 3

Vamos primeiro achar o adjunto do comutador:
[A,B]^dag>=r = (AB - BA)^dag>=r = B^dag>=rA^dag>=r - A^dag>=rB^dag>=r
Como A e B são Hermitianos, A^dag>=r=A e B^dag>=r=B. Logo:
[A,B]^dag>=r = BA - AB = -l(AB - BAr) = -[A,B]

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade para o produto com escalar:
(i[A,B])^dag>=r = i^*,[A,B]^dag>=r
Sabendo que i^* = -i e [A,B]^dag>=r = -[A,B], temos:
(i[A,B])^dag>=r = (-i)(- [A,B]) = i[A,B]

Resposta

i[A,B]

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