Se a, b, e c são as raízes do polinômio p(x)=x^3-5 x^2+2 x+8, tais que a=-2 b c, o valor de ab+ac
e) -14

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^3-5x^2+2x+8
cujoas raízes são a,b,c. Pelas fórmulas de Viète temos
a+b+c=5, ab+ac+bc=2, abc=-8
Além disso, sabemos que
a=-2,b,c
Queremos calcular
ab+ac

Passo 2

Da relação a=-2,b,c e do produto abc=-8 segue
abc = a,(b,c) = (-2,b,c)(b,c) = -2,(b,c)^2 = -8
Logo
(b,c)^2 = 4 Longrightarrow b,c = pm 2

Passo 3

Testamos as duas possibilidades:
  1. Se b,c=2 então a=-2cdot2=-4.
    Da soma a+b+c=5 teria -4+(b+c)=5implies b+c=9.
    Mas então
    ab+ac+bc = a(b+c)+bc = -4cdot9 +2 = -34neq2,
    contradição.
  2. Se b,c=-2 então a=-2cdot(-2)=4.
    Da soma a+b+c=5 vem 4+(b+c)=5implies b+c=1.
    Verificamos o segundo Viète:
    ab+ac+bc = a(b+c)+bc = 4cdot1 +(-2)=2,
    coerente, e ainda abc=4cdot(-2)=-8. Logo esta é a solução válida.

Passo 4

Com a=4, b+c=1 e bc=-2, calculamos
ab+ac = al(1b+1cr) = a,b+cb,c = 4 ,1-2 = -2

Resposta

-2

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