Escrevendo em ordem crescente de valores as três raízes da equação 3 x^3-10 x^2-27 x+10=0, verifica-se que a soma das duas menores é -53 e o produto das duas maiores é 53.
Relativamente às raízes dessa equação, é verdade que
e) uma é um número quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado dá a equação cúbica
3x^3-10x^2-27x+10=0
e pede, entre outras afirmações, para avaliar se “uma das raízes é um número quadrado perfeito”. Para isso, vamos encontrar explicitamente as três raízes usando o Teorema das raízes racionais e resolver o polinômio.

Passo 2

Pelos candidatos do Teorema das raízes racionais, testamos x=5:
f(5)=3cdot5^3-10cdot5^2-27cdot5+10 =375-250-135+10=0,
logo x=5 é raiz.

Passo 3

Dividimos o polinômio por (x-5) (por exemplo, via divisão sintética) e obtemos o quociente
3x^2+5x-2

Passo 4

Resolvendo
3x^2+5x-2=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
x=-5pmraiz5^2-4cdot3cdot(-2)2cdot3 =-5pmraiz25+246 =-5pm76
Assim as outras duas raízes são
x1=-5+76=26=tfrac13, x2=-5-76=-126=-2

Passo 5

As três raízes, em ordem crescente, são
-2, tfrac13, 5
Verificamos que nenhuma dessas três é um quadrado perfeito (nem -2, nem tfrac13, nem 5 é um quadrado de número inteiro). Portanto a afirmação “uma é um número quadrado perfeito” é falsa.

Resposta

A afirmação e) é falsa.

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