Calcule as integrais listadas abaixo pelo método das frações parciais :
(01) integral (2 x-1)(x-1)(x-2) d x
(02) integral x d x(x+1)(x+3)(x+5)
(03) integral (x^5+x^4-8) d xx^3-4 x
(04) integral x^4 d x(x^2-1)(x+2)
(05) integral d x(x-1)^2(x-2)
(06) integral (x-8) d xx^3-4 x^2+4 x
(07) integral (3 x+2) d xx(x+1)^3
(08) integral d xx^3+1
(09) integral x^5x^3-1
(10) integral (x^2+2 x+1) d x(1+x^2)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular dez integrais de funções racionais pelo método de frações parciais. Isso envolve, para cada integrando P(x)Q(x):
  1. Verificar se deg P<deg Q; se não, fazer divisão polinomial.
  2. Decompor em frações simples de acordo com as raízes de Q(x).
  3. Determinar constantes comparando coeficientes ou avaliando em valores de x.
  4. Integrar termo a termo, usando fórmulas de integraldxx-a, integraldx(x-a)^n, integraldxx^2pm x+1, etc.

Passo 2

Para
integral 2x-1(x-1)(x-2),dx
fazemos
2x-1(x-1)(x-2)=Ax-1+Bx-2,
2x-1=A(x-2)+B(x-1) Rightarrow A+B=2,,-2A-B=-1 Rightarrow A=1,B=1.
Logo
integral2x-1(x-1)(x-2)dx =integrall(1x-1+1x-2r)dx =ln|x-1|+ln|x-2|+C

Passo 3

Para
integral x(x+1)(x+3)(x+5),dx
fazemos
x(x+1)(x+3)(x+5) =Ax+1+Bx+3+Cx+5
Avalia em x=-1,-3,-5:
A=-tfrac18, B=tfrac34, C=-tfrac58.
Assim
integralx(x+1)(x+3)(x+5)dx =-tfrac18ln|x+1|+tfrac34ln|x+3|-tfrac58ln|x+5|+C

Passo 4

Para
integral x^5+x^4-8x^3-4x,dx
fazemos divisão polinomial por x(x^2-4):
x^5+x^4-8x(x^2-4) =x^2+x+4+16x+8x(x-2)(x+2)
Decompomos o resto
16x+8x(x-2)(x+2)=Ax+Bx-2+Cx+2
e achamos A=-2, B=5, C=-3.
Integramos:
integral(x^2+x+4)dx =tfracx^33+tfracx^22+4x, integrall(-2x+5x-2-3x+2r)dx =-2ln|x|+5ln|x-2|-3ln|x+2|

Passo 5

Para
integral x^4(x^2-1)(x+2),dx
fazemos divisão por (x-1)(x+1)(x+2):
x^4(x^2-1)(x+2)=x-2+5x^2-4(x-1)(x+1)(x+2)
Decompomos
5x^2-4(x-1)(x+1)(x+2)=Ax-1+Bx+1+Cx+2
e obtemos A=tfrac16, B=-tfrac12, C=tfrac163.
Integramos x-2 e cada termo de logaritmo.

Passo 6

Para
integral dx(x-1)^2(x-2)
fazemos
1(x-1)^2(x-2) =Ax-2+Bx-1+C(x-1)^2,
com A=1, B=-1, C=-1.
A integral é
ln|x-2|-ln|x-1|+tfrac1x-1+C.

Passo 7

Para
integral x-8x^3-4x^2+4x,dx
note x^3-4x^2+4x=x(x-2)^2. Decompondo
x-8x(x-2)^2=Ax+Bx-2+C(x-2)^2
A=-2, B=2, C=-3.
A integral é
-2ln|x|+2ln|x-2|+tfrac3x-2+C.

Passo 8

Para
integral 3x+2x(x+1)^3,dx
fazemos
3x+2x(x+1)^3 =Ax+Bx+1+C(x+1)^2+D(x+1)^3,
e achamos A=2, B=-2, C=-2, D=1.
Integramos cada termo usando logaritmo e potências.

Passo 9

Para
integral dxx^3+1
factorizamos x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) e decompomos
1x^3+1=Ax+1+Bx+Cx^2-x+1
com A=tfrac13, B=-tfrac13, C=tfrac23.
A integral resulta em combinação de ln|x+1|, ln(x^2-x+1) e arctan!l(2x-1raiz3r).

Passo 10

Para
integral x^5x^3-1,dx
fazemos divisão x^5/(x^3-1)=x^2+1+1x^3-1.
Integrando x^2+1 e a parte 1x^3-1 por frações parciais, obtemos termos em ln|x-1|, ln(x^2+x+1) e arctan!l(2x+1raiz3r).

Passo 11

Para
integral x^2+2x+1(1+x^2)^2,dx
escrevemos
x^2+2x+1(1+x^2)^2=x^2+1(1+x^2)^2+2x(1+x^2)^2.
Então
integralx^2+1(1+x^2)^2dx=integraldx1+x^2=arctan x
e
integral2x(1+x^2)^2dx=-11+x^2.

Resposta

(01) ln|x-1|+ln|x-2|+C
(02) -tfrac18ln|x+1|+tfrac34ln|x+3|-tfrac58ln|x+5|+C
(03) tfracx^33+tfracx^22+4x-2ln|x|+5ln|x-2|-3ln|x+2|+C
(04) tfracx^22-2x+tfrac16ln|x-1|-tfrac12ln|x+1|+tfrac163ln|x+2|+C
(05) ln|x-2|-ln|x-1|+tfrac1x-1+C
(06) -2ln|x|+2ln|x-2|+tfrac3x-2+C
(07) 2ln|x|-2ln|x+1|+2,(x+1)^-1-tfrac12(x+1)^-2+C
(08) tfrac13ln|x+1|-tfrac16ln(x^2-x+1)+tfrac1raiz3arctan!l(2x-1raiz3r)+C
(09) tfracx^33+x+tfrac13ln|x-1|-tfrac16ln(x^2+x+1)-tfrac1raiz3arctan!l(2x+1raiz3r)+C
(10) arctan x-11+x^2+C

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