b. Cada coluna de
é uma combinação linear das colunas de
usando como pesos os elementos da coluna correspondente de
.
c.
d.
e. A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das suas transpostas.
c.
d.
e. A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das suas transpostas.
Passo 1
O enunciado pede para avaliarmos a veracidade das seguintes afirmações sobre matrizes
,
e
:
b. Cada coluna de é combinação linear das colunas de
com coeficientes dados pelos elementos da coluna correspondente de
.
c. .
d. .
e. A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das suas transpostas.
O conteúdo aqui é álgebra linear, mais especificamente propriedades de multiplicação e transposição de matrizes.
b. Cada coluna de
c.
d.
e. A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das suas transpostas.
O conteúdo aqui é álgebra linear, mais especificamente propriedades de multiplicação e transposição de matrizes.
Passo 2
Analisando b: a coluna
de
é dada por
onde
é a coluna
de
. Isso mostra que cada coluna de
é combinação linear das colunas de
, não de
. Logo, a afirmação b é falsa.
Passo 3
Analisando c: a distributividade à direita diz que
Essa igualdade vale para quaisquer matrizes de dimensões compatíveis. Portanto, c é verdadeira.
Passo 4
Analisando d: a transposição distribui-se sobre soma, ou seja,
Essa propriedade é válida em geral. Logo, d é verdadeira.
Passo 5
Analisando e: a propriedade correta é
ou seja, a transposta de um produto é igual ao produto das transpostas em ordem invertida. Se interpretarmos “produto das suas transpostas” no sentido adequado (com ordem trocada), e. é verdadeira.
Resposta
b. Falsa
c. Verdadeira
d. Verdadeira
e. Verdadeira (com a ordem invertida: )
c. Verdadeira
d. Verdadeira
e. Verdadeira (com a ordem invertida: