b. Cada coluna de A B é uma combinação linear das colunas de B usando como pesos os elementos da coluna correspondente de A.
c. A B+A C=A(B+C)
d. A^T+B^T=(A+B)^T
e. A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das suas transpostas.

Passo 1

O enunciado pede para avaliarmos a veracidade das seguintes afirmações sobre matrizes A, B e C:
b. Cada coluna de AB é combinação linear das colunas de B com coeficientes dados pelos elementos da coluna correspondente de A.
c. AB + AC = A(B + C).
d. A^T + B^T = (A + B)^T.
e. A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das suas transpostas.
O conteúdo aqui é álgebra linear, mais especificamente propriedades de multiplicação e transposição de matrizes.

Passo 2

Analisando b: a coluna j de AB é dada por
(AB)j ;=; A,(Bj),
onde Bj é a coluna j de B. Isso mostra que cada coluna de AB é combinação linear das colunas de A, não de B. Logo, a afirmação b é falsa.

Passo 3

Analisando c: a distributividade à direita diz que
AB + AC ;=; A(B + C)
Essa igualdade vale para quaisquer matrizes de dimensões compatíveis. Portanto, c é verdadeira.

Passo 4

Analisando d: a transposição distribui-se sobre soma, ou seja,
(A + B)^T ;=; A^T + B^T
Essa propriedade é válida em geral. Logo, d é verdadeira.

Passo 5

Analisando e: a propriedade correta é
(AB)^T ;=; B^T,A^T,
ou seja, a transposta de um produto é igual ao produto das transpostas em ordem invertida. Se interpretarmos “produto das suas transpostas” no sentido adequado (com ordem trocada), e. é verdadeira.

Resposta

b. Falsa
c. Verdadeira
d. Verdadeira
e. Verdadeira (com a ordem invertida: (AB)^T = B^TA^T)

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