Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(u1, u2) e v=(v1, v2) por
u+v=(u1+v1, u2+v2), a u=(0, a u2)
(d) Mostre que valem os Axiomas 7, 8 e 9 .

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a adição usual
u+v=(u1+v1,;u2+v2)
e a multiplicação por escalar
a,u=(0,;a,u2)
Os Axiomas 7, 8 e 9 são, respectivamente,
– 7: a(u+v)=au+av (distributividade em relação à soma de vetores),
– 8: (a+b)u=au+bu (distributividade em relação à soma de escalares),
– 9: (ab)u=a,(bu) (associatividade da multiplicação escalar).
Vamos verificar cada um usando as definições dadas.

Passo 2

Verificação do Axioma 7:
Calculemos primeiro u+v:
u+v=(u1+v1,;u2+v2)
Aplicando o escalar a,
a(u+v) =l(0,;a,(u2+v2)r) =l(0,;a,u2+a,v2r)
Agora calculemos au+av:
au=(0,;a,u2), av=(0,;a,v2),
então
au+av =l(0+0,;a,u2+a,v2r) =l(0,;a,u2+a,v2r)
Concluímos que
a(u+v) =au+av,
logo o Axioma 7 vale.

Passo 3

Verificação do Axioma 8:
Calculemos (a+b)u:
(a+b)u =l(0,;(a+b),u2r) =l(0,;a,u2+b,u2r)
Por outro lado,
au=(0,;a,u2), bu=(0,;b,u2),
e
au+bu =l(0+0,;a,u2+b,u2r) =l(0,;a,u2+b,u2r)
Logo
(a+b)u =au+bu,
portanto o Axioma 8 também vale.

Passo 4

Verificação do Axioma 9:
Calculemos (ab)u:
(ab)u =l(0,;(ab),u2r)
Agora vejamos bu e depois a(bu):
bu=(0,;b,u2), al(bur) =l(0,;a,(b,u2)r) =l(0,;(ab),u2r)
Logo
(ab)u =al(bur),
de modo que o Axioma 9 vale.

Resposta

Mostramos que as três identidades
a(u+v)=au+av, (a+b)u=au+bu, (ab)u=a,(bu)
são satisfeitas pelas operações dadas em V.

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