Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
(d) Mostre que valem os Axiomas 7, 8 e 9 .
Passo 1
O enunciado define em
a adição usual
e a multiplicação por escalar
Os Axiomas 7, 8 e 9 são, respectivamente,
– 7: (distributividade em relação à soma de vetores),
– 8: (distributividade em relação à soma de escalares),
– 9: (associatividade da multiplicação escalar).
Vamos verificar cada um usando as definições dadas.
– 7:
– 8:
– 9:
Vamos verificar cada um usando as definições dadas.
Passo 2
Verificação do Axioma 7:
Calculemos primeiro :
Calculemos primeiro
Aplicando o escalar
,
Agora calculemos
:
então
Concluímos que
logo o Axioma 7 vale.
Passo 3
Verificação do Axioma 8:
Calculemos :
Calculemos
Por outro lado,
e
Logo
portanto o Axioma 8 também vale.
Passo 4
Verificação do Axioma 9:
Calculemos :
Calculemos
Agora vejamos
e depois
:
Logo
de modo que o Axioma 9 vale.
Resposta
Mostramos que as três identidades
são satisfeitas pelas operações dadas em
.