Encontre a equação da elipse na forma canônica, seu centro, seus vértices, seus focos e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede que a coloquemos na forma canônica de uma elipse, identifiquemos seu centro, vértices, focos e façamos um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar o método de completar quadrados e a definição de elipse em forma padrão.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e completamos quadrados:
Escrevendo
substituímos na cônica:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a forma canônica:
Passo 3
Da forma
vemos que o centro é
o semi-eixo maior é
(denominador
) e o semi-eixo menor é
(denominador
). Como
e está embaixo de
, o eixo maior é horizontal.
Passo 4
Os vértices estão nos extremos dos eixos:
- Eixo maior (horizontal):
, ou seja
e . - Eixo menor (vertical):
, ou seja
e .
Passo 5
Os focos satisfazem
, logo
. Como o eixo maior é horizontal, os focos são
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Marque o centro em
. - Desenhe retas-guia horizontais e verticais passando pelos vértices
. - Trace uma elipse passando suavemente por esses vértices.
- Marque os focos em
e .
Resposta
Forma canônica:
Centro:
.
Vértices: ,
,
,
.
Focos: e
.
Esboço: elipse horizontal centrada em passando pelos vértices e com focos indicados acima.
Vértices:
Focos:
Esboço: elipse horizontal centrada em