Encontre a equação da elipse na forma canônica, seu centro, seus vértices, seus focos e faça um esboço do gráfico.
x^2+4 y^2-4 x+8 y+4=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 4 = 0
e pede que a coloquemos na forma canônica de uma elipse, identifiquemos seu centro, vértices, focos e façamos um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar o método de completar quadrados e a definição de elipse em forma padrão.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
x^2 - 4x ;+; 4y^2 + 8y ;+; 4 = 0
Escrevendo
x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4, 4y^2 + 8y = 4l((y+1)^2 - 1r) = 4(y+1)^2 - 4,
substituímos na cônica:
(x-2)^2 - 4 ;+; 4(y+1)^2 - 4 ;+; 4 = 0 ;Longrightarrow; (x-2)^2 + 4(y+1)^2 - 4 = 0 ;Longrightarrow; (x-2)^2 + 4(y+1)^2 = 4
Dividindo ambos os lados por 4, obtemos a forma canônica:
(x-2)^24 ;+; (y+1)^21 ;=; 1

Passo 3

Da forma
(x-2)^24 + (y+1)^21 = 1
vemos que o centro é
(2,,-1),
o semi-eixo maior é a = 2 (denominador 4 = a^2) e o semi-eixo menor é b = 1 (denominador 1 = b^2). Como a>b e está embaixo de (x-2)^2, o eixo maior é horizontal.

Passo 4

Os vértices estão nos extremos dos eixos:
  • Eixo maior (horizontal):
    (2 pm a,,-1) = (2pm2,,-1), ou seja
    (0,-1) e (4,-1).
  • Eixo menor (vertical):
    (2,,-1pm b) = (2,-1pm1), ou seja
    (2,0) e (2,-2).

Passo 5

Os focos satisfazem c^2 = a^2 - b^2 = 4 - 1 = 3, logo c = raiz3. Como o eixo maior é horizontal, os focos são
(2 pm raiz3,,-1)

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Marque o centro em (2,-1).
  • Desenhe retas-guia horizontais e verticais passando pelos vértices (0,-1),(4,-1),(2,0),(2,-2).
  • Trace uma elipse passando suavemente por esses vértices.
  • Marque os focos em (2-raiz3,-1) e (2+raiz3,-1).

Resposta

Forma canônica:
(x-2)^24 + (y+1)^21 = 1
Centro: (2,-1).
Vértices: (0,-1), (4,-1), (2,0), (2,-2).
Focos: (2-raiz3,-1) e (2+raiz3,-1).
Esboço: elipse horizontal centrada em (2,-1) passando pelos vértices e com focos indicados acima.

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