Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operaçães de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
(c) Mostre que
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o conjunto
com operações não usuais definidas por
O que queremos mostrar é que o elemento neutro para essa adição (o “
” do espaço vetorial) é
. Para isso vamos usar a propriedade de identidade aditiva, isto é, o vetor
tal que, para todo
,
Passo 2
Seja
um vetor arbitrário e suponha que
seja o neutro aditivo. Pela definição da soma em
temos
Para que isso seja igual a
devemos ter
Passo 3
Das duas equações acima cancelamos
e
, obtendo
Logo
portanto o neutro aditivo é