Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operaçães de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(u1, u2) e v=(v1, v2) por
u+v=(u1+v1+1, u2+v2+1), a u=(a u1, a u2)
(c) Mostre que (-1,-1)=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o conjunto V=R^2 com operações não usuais definidas por
u+v=(u1+v1+1,;u2+v2+1), au=(a,u1,;a,u2)
O que queremos mostrar é que o elemento neutro para essa adição (o “ 0” do espaço vetorial) é (-1,-1). Para isso vamos usar a propriedade de identidade aditiva, isto é, o vetor e tal que, para todo uin V,
u + e = u

Passo 2

Seja u=(u1,u2) um vetor arbitrário e suponha que e=(e1,e2) seja o neutro aditivo. Pela definição da soma em V temos
u + e = (u1 + e1 + 1,;u2 + e2 + 1)
Para que isso seja igual a u=(u1,u2) devemos ter
u1 + e1 + 1 = u1, u2 + e2 + 1 = u2

Passo 3

Das duas equações acima cancelamos u1 e u2, obtendo
e1 + 1 = 0, e2 + 1 = 0
Logo
e1 = -1, e2 = -1,
portanto o neutro aditivo é
e = (-1,-1)

Resposta

(-1,-1) é o elemento neutro para a adição em V, ou seja, 0=(-1,-1).

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