Seja A uma matriz 4 times 4 e seja x um vetor do R^4. Qual é a forma mais rápida de se calcular A^2 x ? Conte as multiplicações.

Passo 1

O enunciado pede a forma mais rápida de calcular ,A^2 x para uma matriz AinR^4times4 e um vetor xinR^4. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e multiplicação matriz-vetor, e precisamos comparar o custo de duas estratégias diferentes, contando apenas multiplicações escalares.

Passo 2

As duas estratégias possíveis são:
  1. Primeiro calcular ,A^2 = Acdot A e depois multiplicar pelo vetor x.
  2. Primeiro calcular y = A,x e depois ,A^2x = A,y.

Passo 3

Custo da estratégia 1:
  • Calcular A^2 = Acdot A. Como A é 4times4, cada uma das 16 entradas de A^2 exige 4 multiplicações, totalizando 16times4 = 64 multiplicações.
  • Em seguida, multiplicar A^2 por x: são 4 produtos internos de dimensão 4, ou seja, 4times4 = 16 multiplicações.
    Logo, o total é
64 + 16 = 80
multiplicações.

Passo 4

Custo da estratégia 2:
  • Primeiro y = A,x: são 4 produtos internos de dimensão 4, total 4times4 = 16 multiplicações.
  • Depois A,y: mais 4 produtos internos de dimensão 4, novamente 16 multiplicações.
    O total é
16 + 16 = 32
multiplicações.

Passo 5

Comparando, a segunda estratégia ( A(Ax)) usa apenas 32 multiplicações, enquanto calcular A^2 primeiro exige 80 multiplicações. Portanto, a forma mais rápida é aplicar A duas vezes ao vetor, ou seja, calcular primeiro Ax e depois A vezes esse resultado.

Resposta

A forma mais rápida é calcular A(Ax), com um total de 32 multiplicações.

Exercícios relacionados