(b) Calcular ,
para um campo vetorial F(x, y z) de classe C^2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o vetor rot,l(rot,Fr)(x,y,z)
para um campo vetorial F=(Fx,Fy,Fz) de classe C^2.
Vamos usar as definições de rotacional, divergente e laplaciano, e fazer o cálculo componente a componente.
Passo 2
Lembrando as definições em coordenadas cartesianas: nabla=(partialx,partialy,partialz), nablacdot F=partialxFx+partialyFy+partialzFz,
e
nablatimes F =l(partialyFz-partialzFy, partialzFx-partialxFz, partialxFy-partialyFxr)
Também o laplaciano escalar De<a=partialx^2+partialy^2+partialz^2 e o laplaciano vetorial atua componente a componente: De<a F=(De<a Fx,De<a Fy,De<a Fz).
Passo 3
Vamos fazer o cálculo para a primeira componente, e as outras são análogas.
Mas partialypartialzFx+partialzpartialyFx= partialx(partialyFy+partialzFz)
e partialypartialxFz+partialzpartialxFy=partialx(partialyFz+partialzFy).
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