(b) Calcular rot rot F(x, y, z),
para um campo vetorial F(x, y z) de classe C^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor
rot,l(rot,Fr)(x,y,z)
para um campo vetorial F=(Fx,Fy,Fz) de classe C^2.
Vamos usar as definições de rotacional, divergente e laplaciano, e fazer o cálculo componente a componente.

Passo 2

Lembrando as definições em coordenadas cartesianas:
nabla=(partialx,partialy,partialz),
nablacdot F=partialxFx+partialyFy+partialzFz,
e
nablatimes F =l(partialyFz-partialzFy, partialzFx-partialxFz, partialxFy-partialyFxr)
Também o laplaciano escalar De<a=partialx^2+partialy^2+partialz^2 e o laplaciano vetorial atua componente a componente:
De<a F=(De<a Fx,De<a Fy,De<a Fz).

Passo 3

Vamos fazer o cálculo para a primeira componente, e as outras são análogas.
(nablatimes(nablatimes F))x =partialyl(partialzFx-partialxFzr) -partialzl(partialxFy-partialyFxr)
Expandindo:
(nablatimes(nablatimes F))x =partialypartialzFx-partialypartialxFz -partialzpartialxFy+partialzpartialyFx
Reagrupando termos mistos e usando a comutatividade das derivadas (pois FinC^2):
(nablatimes(nablatimes F))x =l(partialypartialzFx+partialzpartialyFxr) -l(partialypartialxFz+partialzpartialxFyr)
Mas partialypartialzFx+partialzpartialyFx= partialx(partialyFy+partialzFz)
e partialypartialxFz+partialzpartialxFy=partialx(partialyFz+partialzFy).
Logo
(nablatimes(nablatimes F))x =partialx(partialxFx+partialyFy+partialzFz) -l(partialy^2+partialz^2r)Fx
Isto é
(nablatimes(nablatimes F))x =partialx(nablacdot F)-De<a Fx
As componentes y e z dão analogamente
(nablatimes(nablatimes F))i =partiali(nablacdot F)-De<a Fi para i=x,y,z.

Passo 4

Reunindo em forma vetorial obtemos a identidade clássica
boxed nablatimes(nablatimes F) =nablal(nablacdot Fr);-;De<a F

Resposta

rot,l(rot,Fr) =nablal(nablacdot Fr);-;nabla^2F

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