Se g for de classe C^2, expressar o laplaciano de uma função radial em termos de g^prime e g^prime prime nos seguintes casos:
ii. No R^3

Passo 1

Temos uma função radial f:ℝ³→ℝ dada por f(x)=g®, onde r=∥x∥ e g∈𝔠². Queremos encontrar Δf em ℝ³ usando derivada de função composta, o gradiente e a divergência.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente. Como f(x)=g’®, pela regra da cadeia temos ∇f(x)=g’®∇r e sabe-se que ∇r= x/r. Logo
nabla f(x)=g'(r)xr

Passo 3

Agora aplicamos a definição de divergência para obter o laplaciano:
De

Passo 4

Usando regra do produto e que ∂r/∂x_i=x_i/r vemos que cada termo gera g’'®(x_i/r)² + g’®(1/r−x_i²/r³). Somando i de 1 a 3:

Resposta

De

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