Se
for de classe
, expressar o laplaciano de uma função radial em termos de
e
nos seguintes casos:
ii. No
ii. No
Passo 1
Temos uma função radial f:ℝ³→ℝ dada por f(x)=g®, onde r=∥x∥ e g∈𝔠². Queremos encontrar Δf em ℝ³ usando derivada de função composta, o gradiente e a divergência.
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente. Como f(x)=g’®, pela regra da cadeia temos ∇f(x)=g’®∇r e sabe-se que ∇r= x/r. Logo
Passo 3
Agora aplicamos a definição de divergência para obter o laplaciano:
Passo 4
Usando regra do produto e que ∂r/∂x_i=x_i/r vemos que cada termo gera g’'®(x_i/r)² + g’®(1/r−x_i²/r³). Somando i de 1 a 3: