Considere o campo vetorial F(x, y, z)=x^2 z i+y^2 z j+(x^2-y^2) k. Determine o divergente (nabla cdot F).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o divergente do campo vetorial F(x, y, z) = x^2 z i + y^2 z j + (x^2 - y^2) k. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre operadores diferenciais como o divergente. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o divergente de um campo vetorial, ou seja, somar as derivadas parciais dos componentes do vetor em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de divergente. Se temos um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k, o divergente de F é dado por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Isso significa que a gente vai calcular a derivada parcial de cada componente do vetor em relação à sua própria variável e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do vetor F:
Fx = x^2 z
Fy = y^2 z
Fz = x^2 - y^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de Fx em relação a x:
partial Fxpartial x = partialpartial x (x^2 z) = 2x z
  1. Derivada parcial de Fy em relação a y:
partial Fypartial y = partialpartial y (y^2 z) = 2y z
  1. Derivada parcial de Fz em relação a z:
partial Fzpartial z = partialpartial z (x^2 - y^2) = 0
(Como x^2 - y^2 não depende de z, a derivada é zero.)

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos para obter o divergente:
nabla cdot F = 2x z + 2y z + 0 = 2z (x + y)

Resposta

O divergente do campo vetorial dado é:
nabla cdot F = 2z (x + y)

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