Obtenha o valor da derivada da inversa da função f(x)=x^3+x no ponto xn=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da inversa de f(x)=x^3+x no ponto xn=1.
Conteúdo: derivada de função inversa. Vamos usar o teorema que diz
(f^-1)'(y0) ;=;1f'l(x0r),
onde x0 satisfaz f(x0)=y0.

Passo 2

Identificamos y0=1. Precisamos achar x0 tal que
f(x0) = x0^3 + x0 = 1
Isso leva à equação cúbica
x0^3 + x0 - 1 = 0

Passo 3

Denotemos por x0 a raiz real dessa cúbica. Pelas fórmulas de Cardano,
x0 = raiz[3]tfrac12 + raiztfrac14 + tfrac127 + raiz[3]tfrac12 - raiztfrac14 + tfrac127

Passo 4

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=3x^2+1
Logo, em x=x0 temos
f'(x0) = 3,x0^2 + 1

Passo 5

Pelo teorema da derivada da inversa,
(f^-1)'(1) = 1f'(x0) = 13,x0^2 + 1
Se quisermos valor numérico, usamos x0approx0,68233, daí
3,x0^2+1approx2,398,
então
(f^-1)'(1)approx0,417

Resposta

(f^-1)'(1)=13,x0^2+1,
onde
x0=raiz[3]tfrac12 + raiztfrac14 + tfrac127 + raiz[3]tfrac12 - raiztfrac14 + tfrac127
é a raiz real de x^3+x-1=0.
Em valor aproximado, (f^-1)'(1)approx0,417.

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