Obtenha o valor da derivada da inversa da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da inversa de
no ponto
.
Conteúdo: derivada de função inversa. Vamos usar o teorema que diz
Conteúdo: derivada de função inversa. Vamos usar o teorema que diz
onde
satisfaz
.
Passo 2
Identificamos
. Precisamos achar
tal que
Isso leva à equação cúbica
Passo 3
Denotemos por
a raiz real dessa cúbica. Pelas fórmulas de Cardano,
Passo 4
Calculamos a derivada de
:
Logo, em
temos
Passo 5
Pelo teorema da derivada da inversa,
Se quisermos valor numérico, usamos
, daí
então
Resposta
onde
é a raiz real de
.
Em valor aproximado, .
Em valor aproximado,