(b) Calcule
integral-1^1 sen(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-1^1sin(x^2),dx
Este problema envolve reconhecer a paridade da função e lidar com uma integral que não admite primitiva em funções elementares.

Passo 2

Observamos que a função sin(x^2) é par, pois
sin((-x)^2) = sin(x^2)
Funções pares satisfazem f(-x)=f(x).

Passo 3

Para qualquer função par f e qualquer a>0 vale
integral-a^af(x),dx = 2integral0^af(x),dx
Aplicando com f(x)=sin(x^2) e a=1, obtemos
integral-1^1sin(x^2),dx = 2integral0^1sin(x^2),dx

Passo 4

Não existe primitiva elementar para sin(x^2). Por isso definimos a integral de Fresnel do seno
F(x)=integral0^xsin(t^2),dt
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integral0^1sin(x^2),dx = F(1),
e a integral original fica
2F(1)

Resposta

integral-1^1sin(x^2),dx = 2,F(1),
onde F(x)=integral0^xsin(t^2),dt é a integral de Fresnel seno.

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