Defina o domínio de h e sua derivada sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma integral:
. Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de
ela está definida, e também calcular a derivada dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e derivada. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No nosso caso, a função é uma integral definida de 2 até
da expressão
.
Para que a integral esteja bem definida, o integrando
precisa ser definido no intervalo de integração, ou seja,
não pode ser igual a zero nesse intervalo. Além disso, o limite superior da integral é
, então precisamos garantir que
seja um número real que não cause problemas na integral.
Passo 3
Vamos ver os valores de
que satisfazem essas condições. Como
é sempre maior ou igual a zero para todo número real
, não temos problemas com o limite superior da integral. No entanto, precisamos garantir que
nunca seja zero no intervalo de 2 até
.
Isso significa que
deve ser diferente de zero, ou seja,
. Assim, o domínio da função
é todos os números reais diferentes de zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da função
. Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limites variáveis pode ser calculada substituindo o limite superior na função integranda e multiplicando pela derivada desse limite.
No nosso caso, temos:
A derivada de
em relação a
será:
Calculando a derivada de
:
Então:
Resposta
O domínio de
é todos os números reais exceto
, e a derivada de
é: