Defina o domínio de h e sua derivada sendo h(T)=integral2^x^2 1T^2 d T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por uma integral: h(T) = integral2^x^2 1T^2 d T . Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de x ela está definida, e também calcular a derivada dessa função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e derivada. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o domínio da função h(x) . O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No nosso caso, a função é uma integral definida de 2 até x^2 da expressão 1T^2 .
Para que a integral esteja bem definida, o integrando 1T^2 precisa ser definido no intervalo de integração, ou seja, T não pode ser igual a zero nesse intervalo. Além disso, o limite superior da integral é x^2 , então precisamos garantir que x^2 seja um número real que não cause problemas na integral.

Passo 3

Vamos ver os valores de x que satisfazem essas condições. Como x^2 é sempre maior ou igual a zero para todo número real x , não temos problemas com o limite superior da integral. No entanto, precisamos garantir que T nunca seja zero no intervalo de 2 até x^2 .
Isso significa que x^2 deve ser diferente de zero, ou seja, x neq 0 . Assim, o domínio da função h(x) é todos os números reais diferentes de zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função h(x) . Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limites variáveis pode ser calculada substituindo o limite superior na função integranda e multiplicando pela derivada desse limite.
No nosso caso, temos:
h(x) = integral2^x^2 1T^2 d T
A derivada de h(x) em relação a x será:
h'(x) = 1(x^2)^2 cdot ddx(x^2)
Calculando a derivada de x^2 :
ddx(x^2) = 2x
Então:
h'(x) = 1x^4 cdot 2x = 2x^3

Resposta

O domínio de h(x) é todos os números reais exceto x = 0 , e a derivada de h(x) é:
h'(x) = 2x^3

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