Calcule a área limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada pelas curvas
,
, e as retas verticais
e
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente da área entre duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a diferença entre as duas funções nesse intervalo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais dessas funções está em cima e qual está embaixo no intervalo de
a
. Isso é importante porque, na integração, a área é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo.
Passo 3
Vamos calcular o valor de cada função nos pontos chave para ver qual está maior:
Para
:
Para
:
Vemos que, nesse intervalo, a parábola (
) está acima da reta (
).
Passo 4
Agora, vamos montar a integral que representa a área entre as duas curvas de
a
. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
Nesse caso,
e
.
Passo 5
Vamos substituir na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
é
, a de
é
, e a de
é
. Assim:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para calcular a área definida.
Passo 7
Vamos agora avaliar a integral definida de
a
:
Primeiro, calculamos para
:
Em seguida, para
:
Passo 8
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
A área delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.