Calcule a área limitada por y=x^2+5, y=2 x+8, x=-2 e x=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada pelas curvas y = x^2 + 5 , y = 2x + 8 , e as retas verticais x = -2 e x = 5 . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente da área entre duas curvas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a diferença entre as duas funções nesse intervalo de x .

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais dessas funções está em cima e qual está embaixo no intervalo de x = -2 a x = 5 . Isso é importante porque, na integração, a área é dada pela integral da função de cima menos a função de baixo.

Passo 3

Vamos calcular o valor de cada função nos pontos chave para ver qual está maior:
Para x = -2 :
  • y = (-2)^2 + 5 = 4 + 5 = 9
  • y = 2(-2) + 8 = -4 + 8 = 4
Para x = 5 :
  • y = 5^2 + 5 = 25 + 5 = 30
  • y = 2(5) + 8 = 10 + 8 = 18
Vemos que, nesse intervalo, a parábola ( y = x^2 + 5 ) está acima da reta ( y = 2x + 8 ).

Passo 4

Agora, vamos montar a integral que representa a área entre as duas curvas de x = -2 a x = 5 . A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
Área = integrala^b (f(x) - g(x)) , dx Á
Nesse caso, f(x) = x^2 + 5 e g(x) = 2x + 8 .

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
Área = integral-2^5 ( (x^2 + 5) - (2x + 8) ) , dx Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
(x^2 + 5) - (2x + 8) = x^2 - 2x - 3
Então:
Área = integral-2^5 (x^2 - 2x - 3) , dx Á

Passo 6

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de x^2 é x^33 , a de -2x é -x^2 , e a de -3 é -3x . Assim:
integral (x^2 - 2x - 3) , dx = x^33 - x^2 - 3x + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar para calcular a área definida.

Passo 7

Vamos agora avaliar a integral definida de -2 a 5 :
Área = [ x^33 - x^2 - 3x ]-2^5 Á
Primeiro, calculamos para x = 5 :
5^33 - 5^2 - 3(5) = 1253 - 25 - 15 = 1253 - 40 = 125 - 1203 = 53
Em seguida, para x = -2 :
(-2)^33 - (-2)^2 - 3(-2) = -83 - 4 + 6 = -83 + 2 = -8 + 63 = -23

Passo 8

Agora, subtraímos o valor em x = -2 do valor em x = 5 :
Área = 53 - ( -23 ) = 53 + 23 = 73 Á

Resposta

A área delimitada pelas curvas é 73 unidades quadradas.

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