Sendo integrala^b f(x) d x=4, integralc^d f(x) d x=7, integrala^d f(x) d x=-m, e integralc^b f(x) d x=10, descubra quem é -m .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem algumas integrais definidas envolvendo uma função f(x) nos intervalos [a, b] , [c, d] , [a, d] e [c, b] . O objetivo é descobrir o valor de -m .
Matéria envolvida: Propriedades das integrais definidas, especialmente a propriedade aditiva.
O que precisamos: Saber como as integrais em diferentes intervalos se relacionam entre si para encontrar o valor desconhecido.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as informações que a questão nos dá:
  1. integrala^b f(x) , dx = 4
  2. integralc^d f(x) , dx = 7
  3. integrala^d f(x) , dx = -m
  4. integralc^b f(x) , dx = 10
Nosso objetivo é encontrar o valor de -m .

Passo 3

Vamos lembrar de uma propriedade importante das integrais definidas: se você tem uma função f(x) e integra sobre um intervalo que pode ser dividido em subintervalos, a integral total é a soma das integrais desses subintervalos. Matematicamente, isso é:
integrala^d f(x) , dx = integrala^b f(x) , dx + integralb^c f(x) , dx + integralc^d f(x) , dx

Passo 4

Vamos reorganizar essa propriedade para facilitar nosso cálculo. Queremos expressar integrala^d f(x) , dx em termos das integrais que a gente já conhece.
Sabemos que:
integrala^d f(x) , dx = integrala^b f(x) , dx + integralb^d f(x) , dx
Aí, nossa incógnita é integralb^d f(x) , dx .

Passo 5

Sabemos que:
integralc^d f(x) , dx = 7
integralc^b f(x) , dx = 10
Queremos encontrar integralb^d f(x) , dx . Vamos relacionar essas duas integrais.

Passo 6

Vamos usar a propriedade das integrais para combinar integralc^b f(x) , dx e integralc^d f(x) , dx :
integralc^d f(x) , dx = integralc^b f(x) , dx + integralb^d f(x) , dx
Substituindo os valores que conhecemos:
7 = 10 + integralb^d f(x) , dx

Passo 7

Agora, vamos resolver para integralb^d f(x) , dx :
integralb^d f(x) , dx = 7 - 10 = -3

Passo 8

Lembrando da relação que estabelecemos no Passo 4:
integrala^d f(x) , dx = integrala^b f(x) , dx + integralb^d f(x) , dx
Substituindo os valores:
-m = 4 + (-3)

Passo 9

Resolvendo a equação para -m :
-m = 4 - 3 = 1

Resposta

-m = 1

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