b) Conclua que se f é uma função polinomial, então a equação e^x-f(x)=0 não tem infinitas soluções reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é um polinômio de grau n, a equação
e^x - f(x)=0
não pode ter infinitas soluções reais. Vamos usar a função
h(x)= e^x - f(x),
as suas derivadas e o Teorema de Rolle para limitar o número de raízes de h.

Passo 2

Note que f é um polinômio de grau n, então para k=0,1,dots,n temos
h^(k)(x)= e^x - f^(k)(x),
enquanto
h^(n+1)(x)= e^x,
pois a derivada de ordem n+1 de f é zero.

Passo 3

Como e^x>0 para todo x, concluímos que
h^(n+1)(x)>0forall x,
isto é, h^(n) é estritamente crescente e, portanto, pode ter no máximo uma raiz.

Passo 4

Pelo Teorema de Rolle, se uma função g é contínua num intervalo e duas de suas raízes são a<b, então existe cin(a,b) tal que g'(c)=0. Em particular, isso implica que, se g' tem no máximo m raízes, então g tem no máximo m+1 raízes. Aplicando isso recursivamente para as derivadas de h, obtemos que
h^(n) tem no máximo 1 raiz ;Longrightarrow; h^(n-1) tem no máximo 2 raízes ;Longrightarrow;dots; Longrightarrow; h=h^(0) tem no máximo n+1 raízes ááíáí

Resposta

A equação e^x - f(x)=0 pode ter no máximo n+1 soluções reais e, em particular, não tem infinitas soluções.

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