b) Conclua que se
é uma função polinomial, então a equação
não tem infinitas soluções reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um polinômio de grau
, a equação
não pode ter infinitas soluções reais. Vamos usar a função
as suas derivadas e o Teorema de Rolle para limitar o número de raízes de
.
Passo 2
Note que
é um polinômio de grau
, então para
temos
enquanto
pois a derivada de ordem
de
é zero.
Passo 3
Como
para todo
, concluímos que
isto é,
é estritamente crescente e, portanto, pode ter no máximo uma raiz.
Passo 4
Pelo Teorema de Rolle, se uma função
é contínua num intervalo e duas de suas raízes são
, então existe
tal que
. Em particular, isso implica que, se
tem no máximo
raízes, então
tem no máximo
raízes. Aplicando isso recursivamente para as derivadas de
, obtemos que
Resposta
A equação
pode ter no máximo
soluções reais e, em particular, não tem infinitas soluções.