Questão 1 ( 5,0 pontos). Considere a função
f(x)=ll 2 x^2+3 x+13 x^2+2 x-1 & se x<1 raiz2 x^2+1x+1 & se x >= 1
a) (0,5) Determine o domínio da função f.
b) (0,5) Encontre os pontos de intersecção entre a curva y=f(x) e os eixos cartesianos.
c) (1,0) Faça a análise de sinal da função: diga em quais intervalos ela é positiva e em quais ela é negativa.
d) (2,0) Encontre os pontos de descontinuidade de f e diga se são do tipo salto, infinito ou removível. Justifique calculando os limites pertinentes.
e) (1,0) Determine as assíntotas horizontais da curva y=f(x). Justifique calculando os limites pertinentes.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 2x^2+3x+13x^2+2x-1,&x<1,[1em] raiz2x^2+1x+1,&x>=1,
e pede:
a) Domínio;
b) Interseções com os eixos;
c) Sinal de f;
d) Pontos de descontinuidade e tipo;
e) Assíntotas horizontais.
Para resolver usamos: análise de denominadores e radicais (domínio), zeros de numerador (interseções), estudo de sinais por fatoração, limites laterais (descontinuidade) e limites no infinito (assíntotas).]

Passo 2

Determino o domínio impondo nos dois ramos que o denominador não seja zero e que o radical seja definido:
1. Para x<1 preciso de
3x^2+2x-1neq0Longrightarrow xneq-1,;xneqtfrac13
2. Para x>=1 tenho raiz2x^2+1 sempre definida e x+1neq0 xneq-1, mas esse valor não entra em x>=1.
Logo
Dom(f) =(-infty,-1),cup,(-1,tfrac13),cup,(tfrac13,1),cup,[1,infty)

Passo 3

Interseções com os eixos:
  • Eixo y ( x=0, dentro de x<1):
f(0)=1-1=-1 Longrightarrow(0,-1)
  • Eixo x ( f(x)=0): só no ramo x<1 o numerador zerar:
2x^2+3x+1=0Longrightarrow x=-1,;x=-tfrac12
Mas x=-1 não está no domínio, sobra x=-tfrac12. Então o único ponto é l(-tfrac12,0r).

Passo 4

Análise de sinal de f(x):
1. No ramo x<1, fatoro
2x^2+3x+1=(x+1)(2x+1), 3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1)
Os zeros e polos são em x=-1,-tfrac12,tfrac13. Fazendo o quadro de sinais (testando um valor em cada intervalo) obtém-se
f(x)>0em (-infty,-1),;(-1,-tfrac12),;(tfrac13,1),
f(x)<0em (-tfrac12,tfrac13)
2. No ramo x>=1, raiz2x^2+1>0 e x+1>0, logo
f(x)>0para todo x>=1

Passo 5

Descontinuidades:
  • Em x=-1, no ramo x<1 aparecem zero/zero. Calculando o limite comum:
limxto-12x+13x-1=-2+1-3-1=-1-4=tfrac14,
há limite finito e f(-1) não existe Rightarrow descontinuidade removível.
  • Em x=tfrac13, o ramo x<1 tem denominador zero e numerador 20/9neq0.
    limxto(1/3)^-f(x)=-infty, limxto(1/3)^+f(x)=+infty Rightarrow descontinuidade infinita (vertical).
  • Em x=1,
    limxto1^-f(x)=tfrac64=tfrac32 e
    limxto1^+f(x)=tfracraiz32, são diferentes Rightarrow descontinuidade de salto.

Passo 6

Assíntotas horizontais examinando xtopminfty:
  • Para xto-infty usamos o ramo racional e
limxto-infty2x^2+3x+13x^2+2x-1 =23
Então há assíntota y=tfrac23 à esquerda.
  • Para xto+infty usamos o ramo com raiz:
raiz2x^2+1x+1 =xraiz2+1/x^2x(1+1/x) toraiz21=raiz2
Logo assíntota y=raiz2 à direita.

Resposta

a) (-infty,-1),cup,(-1,tfrac13),cup,(tfrac13,1),cup,[1,infty).
b) Interseções: (0,-1) e l(-tfrac12,0r).
c) f(x)>0 em (-infty,-1), ( -1,-tfrac12), (tfrac13,1) e [1,infty); f(x)<0 em (-tfrac12,tfrac13).
d) Descontinuidades em
;x=-1 (removível),
;x=tfrac13 (infinita),
;x=1 (salto).
e) Assíntotas horizontais: y=tfrac23 para xto-infty e y=raiz2 para xto+infty.

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