Seja
uma função contínua em
e derivável em
. Suponha que
,
e
. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando.
c) A equação
tem ao menos uma solução no intervalo
.
8. Mostre que a equação
tem uma única solução no intervalo
.
c) A equação
8. Mostre que a equação
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
contínua em
e derivável em
, com
Precisamos decidir se a equação
tem ao menos uma solução em
. Em seguida, mostrar que a equação
tem exatamente uma solução no intervalo
. Para a primeira parte vamos usar o Teorema de Rolle e para a segunda o Teorema do Valor Intermediário aliado à monotonicidade de uma função diferenciável.
Passo 2
Como
e
, temos dois pontos no domínio onde a função assume o mesmo valor. Pelo Teorema de Rolle, existe
tal que
Portanto, a afirmação de que
tem ao menos uma solução em
é verdadeira.
Passo 3
Definimos a função auxiliar
cuja raiz atente à equação do enunciado. Observamos que
é contínua e derivável em
. Calculamos
Como
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma
tal que
.
Passo 4
Para mostrar unicidade, derivamos
:
Em
temos
e
, logo
Assim,
é estritamente decrescente em
e não pode ter duas raízes. Concluímos que existe exatamente uma solução em
.
Resposta
c) Verdadeira. A equação
tem ao menos uma solução em
.
8) A equação possui exatamente uma solução no intervalo
.
8) A equação