Seja g:[-1,2] R uma função contínua em [-1,2] e derivável em ]-1,2[. Suponha que g(-1)=0, g(0)=4, g(1)=2 e g(2)=2. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando.
c) A equação g^prime(x)=0 tem ao menos uma solução no intervalo ]-1,2[.
8. Mostre que a equação (1-x) cos x=sin x tem uma única solução no intervalo ] 0,1[.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função g:[-1,2]toR contínua em [-1,2] e derivável em (-1,2), com
g(-1)=0, g(0)=4, g(1)=2, g(2)=2
Precisamos decidir se a equação g'(x)=0 tem ao menos uma solução em (-1,2). Em seguida, mostrar que a equação
(1-x)cos x = sin x
tem exatamente uma solução no intervalo (0,1). Para a primeira parte vamos usar o Teorema de Rolle e para a segunda o Teorema do Valor Intermediário aliado à monotonicidade de uma função diferenciável.

Passo 2

Como g(1)=2 e g(2)=2, temos dois pontos no domínio onde a função assume o mesmo valor. Pelo Teorema de Rolle, existe cin(1,2)subset(-1,2) tal que
g'(c)=0
Portanto, a afirmação de que g'(x)=0 tem ao menos uma solução em (-1,2) é verdadeira.

Passo 3

Definimos a função auxiliar
f(x) = (1-x)cos x - sin x,
cuja raiz atente à equação do enunciado. Observamos que f é contínua e derivável em [0,1]. Calculamos
f(0) = (1-0)cdot1 - 0 = 1>0, f(1) = (1-1)cos1 - sin1 = -sin1<0
Como f(0)cdot f(1)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma x0in(0,1) tal que f(x0)=0.

Passo 4

Para mostrar unicidade, derivamos f:
f'(x) =ddxl[(1-x)cos x - sin xr] =-(1-x)sin x -2cos x
Em (0,1) temos sin x>0 e cos x>0, logo
f'(x)=-(1-x)sin x -2cos x<0forall xin(0,1)
Assim, f é estritamente decrescente em [0,1] e não pode ter duas raízes. Concluímos que existe exatamente uma solução em (0,1).

Resposta

c) Verdadeira. A equação g'(x)=0 tem ao menos uma solução em (-1,2).
8) A equação (1-x)cos x = sin x possui exatamente uma solução no intervalo (0,1).

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