Questão 1. Verifique se
abaixo são subespaços vetoriais de
. Caso afirmativo mostre que as três propriedades de subespaço são satisfeitas e caso negativo mostre um contra-exemplo.
os polinômios de grau no máximo 3 e
.
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
, o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau no máximo . -
. Ou seja, é o conjunto dos polinômios em que satisfazem que o produto é zero.
O que se pede:
- Verificar se
é um subespaço vetorial de . - Se for subespaço, mostrar que as três propriedades de subespaço são satisfeitas.
- Se não for, apresentar um contra-exemplo que prove a falha de alguma propriedade.
Passo 2
Lembrete das três propriedades necessárias para que um subconjunto
de um espaço vetorial
seja subespaço:
-
não é vazio (ou equivalentemente , onde é o vetor nulo do espaço). - Fechado sob soma: para quaisquer
deve valer . - Fechado sob multiplicação escalar: para qualquer escalar
e qualquer deve valer .
Explicação didática rápida: aqui os “vetores” são polinômios. O vetor nulo é o polinômio
(que vale
para todo
). “Fechado sob soma” significa que ao somar dois polinômios que têm a propriedade pedida (produto das avaliações em
e
igual a zero), o polinômio soma também deve ter essa propriedade. “Fechado sob escalar” significa que multiplicar um polinômio da propriedade por qualquer
deve resultar num polinômio que ainda satisfaz
.
Passo 3
Verificação de que
não é vazio (propriedade 1).
- O polinômio zero
pertence a . - Calcula-se
e . Portanto . - Conclusão:
. Logo não é vazio e a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 4
Verificação da estabilidade por multiplicação escalar (propriedade 3).
- Tome
e . - Por definição de
, tem-se . Isso significa que pelo menos uma das duas quantidades ou é zero. - Avaliando
em e : e . - O produto é
. - Como
, resulta que . Logo . - Conclusão:
. Portanto é fechado por multiplicação escalar.
Passo 5
Verificação da estabilidade por soma (propriedade 2) — procuramos um contra-exemplo.
- A ideia:
exige que o polinômio anule em OU em (porque o produto ser zero implica pelo menos um dos fatores ser zero). Isso não garante que a soma de dois polinômios que anulam em pontos diferentes também anule em um desses pontos. - Construção explícita:
- Tome
. Então , logo . - Tome
. Então , logo .
- Tome
- Calcule a soma:
-
. - Avaliando em
: . - Avaliando em
: . - Produto:
.
-
- Assim
, ou seja . - Conclusão:
não é fechado sob soma. Encontramos um contra-exemplo concreto.
Passo 6
Conclusão final a partir das verificações:
- Vimos que
contém o vetor nulo e é fechado por multiplicação escalar. - Entretanto
falha na propriedade de fechamento por soma: existem tais que . - Portanto
NÃO é um subespaço vetorial de .