Questão 1. Verifique se W abaixo são subespaços vetoriais de V. Caso afirmativo mostre que as três propriedades de subespaço são satisfeitas e caso negativo mostre um contra-exemplo.
V=\mathcal{P}_{3} os polinômios de grau no máximo 3 e W=\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{3} \mid p(1)\right.. p(-1)=0\}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • V=\mathcal{P}_{3}, o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau no máximo 3.
  • W=\{\,p(t)\in\mathcal{P}_{3}\mid p(1)\,p(-1)=0\,\}. Ou seja, W é o conjunto dos polinômios em \mathcal{P}_3 que satisfazem que o produto p(1)\cdot p(-1) é zero.
O que se pede:
  • Verificar se W é um subespaço vetorial de V.
  • Se for subespaço, mostrar que as três propriedades de subespaço são satisfeitas.
  • Se não for, apresentar um contra-exemplo que prove a falha de alguma propriedade.

Passo 2

Lembrete das três propriedades necessárias para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja subespaço:
  1. W não é vazio (ou equivalentemente 0\in W, onde 0 é o vetor nulo do espaço).
  2. Fechado sob soma: para quaisquer p,q\in W deve valer p+q\in W.
  3. Fechado sob multiplicação escalar: para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} e qualquer p\in W deve valer \alpha p\in W.
Explicação didática rápida: aqui os “vetores” são polinômios. O vetor nulo é o polinômio 0 (que vale 0 para todo t). “Fechado sob soma” significa que ao somar dois polinômios que têm a propriedade pedida (produto das avaliações em 1 e -1 igual a zero), o polinômio soma também deve ter essa propriedade. “Fechado sob escalar” significa que multiplicar um polinômio da propriedade por qualquer \alpha deve resultar num polinômio que ainda satisfaz p(1)p(-1)=0.

Passo 3

Verificação de que W não é vazio (propriedade 1).
  • O polinômio zero 0(t)\equiv 0 pertence a \mathcal{P}_3.
  • Calcula-se 0(1)=0 e 0(-1)=0. Portanto 0(1)\cdot 0(-1)=0.
  • Conclusão: 0\in W. Logo W não é vazio e a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da estabilidade por multiplicação escalar (propriedade 3).
  • Tome p\in W e \alpha\in\mathbb{R}.
  • Por definição de W, tem-se p(1)\cdot p(-1)=0. Isso significa que pelo menos uma das duas quantidades p(1) ou p(-1) é zero.
  • Avaliando \alpha p em 1 e -1: (\alpha p)(1)=\alpha p(1) e (\alpha p)(-1)=\alpha p(-1).
  • O produto é (\alpha p)(1)\cdot(\alpha p)(-1)=\alpha^2\,p(1)\,p(-1).
  • Como p(1)\,p(-1)=0, resulta que \alpha^2\,p(1)\,p(-1)=0. Logo (\alpha p)(1)\cdot(\alpha p)(-1)=0.
  • Conclusão: \alpha p\in W. Portanto W é fechado por multiplicação escalar.

Passo 5

Verificação da estabilidade por soma (propriedade 2) — procuramos um contra-exemplo.
  • A ideia: W exige que o polinômio anule em 1 OU em -1 (porque o produto ser zero implica pelo menos um dos fatores ser zero). Isso não garante que a soma de dois polinômios que anulam em pontos diferentes também anule em um desses pontos.
  • Construção explícita:
    • Tome p(t)=t-1. Então p(1)=0, logo p\in W.
    • Tome q(t)=t+1. Então q(-1)=0, logo q\in W.
  • Calcule a soma:
    • (p+q)(t)=(t-1)+(t+1)=2t.
    • Avaliando em 1: (p+q)(1)=2\cdot 1=2.
    • Avaliando em -1: (p+q)(-1)=2\cdot(-1)=-2.
    • Produto: (p+q)(1)\cdot (p+q)(-1)=2\cdot(-2)=-4\neq 0.
  • Assim (p+q)(1)\cdot (p+q)(-1)\neq 0, ou seja (p+q)\notin W.
  • Conclusão: W não é fechado sob soma. Encontramos um contra-exemplo concreto.

Passo 6

Conclusão final a partir das verificações:
  • Vimos que W contém o vetor nulo e é fechado por multiplicação escalar.
  • Entretanto W falha na propriedade de fechamento por soma: existem p,q\in W tais que p+q\notin W.
  • Portanto W NÃO é um subespaço vetorial de V=\mathcal{P}_{3}.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V. Por exemplo, p(t)=t-1\in W e q(t)=t+1\in W, mas p+q=2t\notin W.

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