(b) Considere alpha=[l1 1],[c1 -1] e c2=[l1 0],[l0 1] bases do R^2 e determine a matriz passagem de c2 para alpha,[P]alpha^c2;

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2: a base padrão c2=e1,e2 com e1=(1,0)^T, e2=(0,1)^T, e a base alpha=v1,v2 com v1=(1,1)^T, v2=(1,-1)^T. Queremos a matriz de mudança de coordenadas de c2 para alpha, ou seja, [P]alpha^c2. Para isso, vamos escrever cada vetor de c2 como combinação linear dos vetores de alpha.

Passo 2

Escrevemos
e1 = a,v1 + b,v2,
isto é,
a11 + b1-1 = 10
Isso gera o sistema
a + b = 1, a - b = 0
Resolvendo, obtemos a=tfrac12 e b=tfrac12. Logo as coordenadas de e1 em alpha são l(tfrac12,tfrac12r).

Passo 3

De modo análogo, escrevemos
e2 = c,v1 + d,v2,
isto é,
c11 + d1-1 = 01,
o que dá
c + d = 0, c - d = 1
Daí c=tfrac12 e d=-tfrac12. Logo as coordenadas de e2 em alpha são l(tfrac12,-tfrac12r).

Passo 4

A matriz de mudança de base de c2 para alpha tem colunas formadas pelas coordenadas de e1 e e2 em alpha. Logo,
[P]alpha^c2 = tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12

Resposta

[P]alpha^c2 = tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & -tfrac12

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