Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
Passo 1
O enunciado nos dá a quádricas
e pede (1) colocá-la na forma reduzida (ou canônica), (2) achar as interseções com os planos , e , e (3) esboçar a superfície. O conteúdo é classificação e redução de superfícies quádricas, uso de cortes com planos coordenados e interpretação geométrica para o esboço.
Passo 2
Para obter a forma reduzida isolamos . Basta passar o sinal de para o outro lado:
Comparando com a forma padrão de um paraboloide hiperbólico
vemos que aqui , e , pois
Passo 3
Interseção com o plano (isto é, ). Substituindo em dá
Logo a seção é par de retas que passam pela origem no plano .
Passo 4
Interseção com o plano (isto é, ). Substituindo em dá
Essa é uma parábola no plano abrindo para baixo (eixo negativo).
Passo 5
Interseção com o plano (isto é, ). Substituindo em dá
Essa é uma parábola no plano abrindo para cima (eixo positivo).
Passo 6
Esboço da quádricas:
Ao longo de direções paralelas ao eixo (corte constante) temos parábolas que se abrem para cima (constante).
Ao longo de direções paralelas ao eixo (corte constante) temos parábolas que se abrem para baixo (constante).
Em níveis de altura fixa são hipérboles .
O desenho resulta numa “sela” (saddle): sobe para cima ao longo de e desce ao longo de .
Resposta
Forma reduzida:
Interseções:
Esboço: um paraboloide hiperbólico (sela) que abre para cima em direção ao eixo y e para baixo em direção ao eixo x.