Coloque a equação na forma reduzida, encontre as interseções da quádrica com os planos xy, yz e xz e, em seguida, faça um esboço da quádrica.
4 x^2-y^2=-z

Passo 1

O enunciado nos dá a quádricas
4x^2-y^2=-z
e pede (1) colocá-la na forma reduzida (ou canônica), (2) achar as interseções com os planos xy, xz e yz, e (3) esboçar a superfície. O conteúdo é classificação e redução de superfícies quádricas, uso de cortes com planos coordenados e interpretação geométrica para o esboço.

Passo 2

Para obter a forma reduzida isolamos z. Basta passar o sinal de -z para o outro lado:
z = y^2 - 4x^2
Comparando com a forma padrão de um paraboloide hiperbólico
zc = y^2b^2 - x^2a^2,
vemos que aqui c=1, b^2=1 e a^2=tfrac14, pois
z = y^21 - x^2tfrac14

Passo 3

Interseção com o plano xy (isto é, z=0). Substituindo z=0 em z = y^2-4x^2
0 = y^2-4x^2 Longrightarrow y^2=4x^2 Longrightarrow y=pm2x
Logo a seção é par de retas que passam pela origem no plano xy.

Passo 4

Interseção com o plano xz (isto é, y=0). Substituindo y=0 em z = y^2-4x^2
z = -4x^2
Essa é uma parábola no plano xz abrindo para baixo (eixo z negativo).

Passo 5

Interseção com o plano yz (isto é, x=0). Substituindo x=0 em z = y^2-4x^2
z = y^2
Essa é uma parábola no plano yz abrindo para cima (eixo z positivo).

Passo 6

Esboço da quádricas:
  • Ao longo de direções paralelas ao eixo y (corte x= constante) temos parábolas que se abrem para cima ( z=y^2-constante).
  • Ao longo de direções paralelas ao eixo x (corte y= constante) temos parábolas que se abrem para baixo ( z=constante -4x^2).
  • Em níveis de altura fixa z=z0 são hipérboles y^2-4x^2=z0.
    O desenho resulta numa “sela” (saddle): sobe para cima ao longo de y e desce ao longo de x.

Resposta

Forma reduzida:
z = y^2 - 4x^2
Interseções:
plano xy: z=0;Longrightarrow;y=pm2x, plano xz: y=0;Longrightarrow;z=-4x^2, plano yz: x=0;Longrightarrow;z=y^2
Esboço: um paraboloide hiperbólico (sela) que abre para cima em direção ao eixo y e para baixo em direção ao eixo x.

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