Determine a equação e esboce a parábola sabendo que o foco é F(2,3) e a diretriz y=-1.

Passo 1

O enunciado pede a equação e o esboço de uma parábola cujo foco é F(2,3) e cuja diretriz é a reta y=-1. Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P ao foco é
raiz(x-2)^2 + (y-3)^2
e a distância de P à diretriz y=-1 é
|y - (-1)| = |y+1|
Pela definição de parábola, esses comprimentos são iguais:
raiz(x-2)^2 + (y-3)^2 = |y+1|

Passo 3

Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade obtemos:
(x-2)^2 + (y-3)^2 = (y+1)^2

Passo 4

Expandindo e simplificando:
x^2 -4x +4 + y^2 -6y +9 = y^2 +2y +1
x^2 -4x +13 -6y = 2y +1
x^2 -4x +12 = 8y
y = 18l(x^2 -4x +12r)

Passo 5

Para identificar vértice e forma canônica, completamos o quadrado:
x^2 -4x +12 = (x-2)^2 +8,
logo
y = 18(x-2)^2 +1
Dessa forma, o vértice é (2,1) e o eixo de simetria é a reta x=2.

Passo 6

O coeficiente positivo de (x-2)^2 indica que a parábola abre para cima. O foco (2,3) está duas unidades acima do vértice e a diretriz y=-1 está duas unidades abaixo. No esboço, marcamos:
– vértice em (2,1),
– foco em (2,3),
– diretriz y=-1,
– eixo de simetria x=2.

Resposta

A equação da parábola é
y = 18(x-2)^2 +1
Ela tem vértice em (2,1), foco em (2,3), diretriz y=-1 e abre para cima.

Exercícios relacionados