Encontre as equações da hipérbole e de suas assíntotas, conhecendo:
os focos F1=(-raiz13, 0) e F2=(raiz13, 0) e a medida do eixo transverso 6;
Esboce as hipérboles.

Passo 1

O enunciado dá os focos F1=(-raiz13,0), F2=(raiz13,0) e diz que o eixo transverso mede 2a=6. Estamos tratando de uma hipérbola com centro na origem e eixos alinhados aos eixos coordenados. Para resolver, usaremos a definição clássica de hipérbola e a relação entre a, b e c:
c^2 = a^2 + b^2

Passo 2

Da medida do eixo transverso temos
2a = 6 Longrightarrow a = 3
Como cada foco está a c=raiz13 do centro, temos
c = raiz13
De c^2=a^2+b^2 segue
13 = 9 + b^2 Longrightarrow b^2 = 4 Longrightarrow b = 2

Passo 3

A equação reduzida da hipérbola com focos no eixo x é
x^2a^2 ;-;y^2b^2 ;=;1
Substituindo a^2=9 e b^2=4 obtemos
x^29 ;-;y^24 ;=;1

Passo 4

As assíntotas de uma hipérbola centrada na origem e com equação tfracx^2a^2-tfracy^2b^2=1 são as retas
y = pm ba,x
Aqui tfracba=tfrac23, logo
y = pm 23,x

Passo 5

Para esboçar a hipérbola:
– Marque os vértices em (pm a,0)=(pm3,0).
– Desenhe as assíntotas y=tfrac23x e y=-tfrac23x.
– A curva abre-se para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Equação da hipérbola:
x^29 ;-;y^24 ;=;1
Equações das assíntotas:
y = 23x e y = -23x

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