(b) Considere o operador sobre de reflexão com relação ao origem do sistema cartesiano. Determine se é diagonalizável ou não.
Passo 1
O enunciado considera o operador linear que envia cada vetor em , ou seja, é a reflexão em relação à origem. O conteúdo aqui é diagonalização de operadores em espaços de dimensão finita. Para decidir se é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se temos um sistema completo de autovetores (ou seja, se a soma das dimensões dos autiespaços é igual a 2).
Assim há um único autovalor lambda=-1 com multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Para lambda=-1, o autiespaço é dado pelas soluções de
([T]-(-1)I2)v =l(-I2+I2r)v =0cdot v =0,
isto é, todo vinR^2. Logo a dimensão do autiespaço é 2, igual à multiplicidade algébrica. Portanto existe uma base de R^2 formada por autovetores de T.
Resposta
O operador é diagonalizável (sua matriz na base canônica já é a matriz diagonal diag(-1,-1)).