(b) Considere o operador sobre R^2 de reflexão com relação ao origem (0,0) do sistema cartesiano. Determine se é diagonalizável ou não.

Passo 1

O enunciado considera o operador linear Tcolon R^2 to R^2 que envia cada vetor v em -v, ou seja, é a reflexão em relação à origem. O conteúdo aqui é diagonalização de operadores em espaços de dimensão finita. Para decidir se T é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se temos um sistema completo de autovetores (ou seja, se a soma das dimensões dos autiespaços é igual a 2).

Passo 2

Na base canônica e1,e2 de R^2, T(e1)=-e1 e T(e2)=-e2. Logo a matriz de T é
[T] = -1 & 0 0 & -1 ,
que é exatamente -I2.

Passo 3

O polinômio característico de [T] é
detl([T]-lambda I2r) =det -1-lambda & 0 0 & -1-lambda =(-1-lambda)^2
Assim há um único autovalor lambda=-1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para lambda=-1, o autiespaço é dado pelas soluções de
([T]-(-1)I2)v =l(-I2+I2r)v =0cdot v =0,
isto é, todo vinR^2. Logo a dimensão do autiespaço é 2, igual à multiplicidade algébrica. Portanto existe uma base de R^2 formada por autovetores de T.

Resposta

O operador é diagonalizável (sua matriz na base canônica já é a matriz diagonal diag(-1,-1)).

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