Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Os autovalores de uma matriz A são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida obtida de A.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dada uma matriz A, os autovalores de A coincidem com os autovalores da forma escalonada reduzida (RREF) de A. O conteúdo é teoria de autovalores e como eles se comportam sob transformações de matrizes.

Passo 2

A RREF de A é obtida aplicando operações elementares de linha, ou seja, existe uma sequência de matrizes elementares invertíveis E1, E2,dots,Ek tais que
RREF(A) ;=; Ekcdots E2,E1,A
Por outro lado, autovalores são preservados apenas por transformações de similaridade, ou seja, quando fazemos
B = P^-1 A,P
com P invertível. Note que multiplicar A apenas à esquerda por Ei não é uma transformação de similaridade, pois não há a multiplicação por Ei^-1 à direita, logo não se preserva o polinômio característico det(A-lambda I).

Passo 3

Como contraponto, considere o exemplo concreto
A = 0 & 1 [6pt] 1 & 0
Os autovalores de A são as raízes de
detl(A-lambda Ir) ;=;det-lambda & 1[4pt]1 & -lambda ;=;lambda^2 - 1,
ou seja, 1,,-1. Já a RREF de A é
RREF(A) = 0 & 1 [4pt]1 & 0 oversettroca de linhaslongrightarrow 1 & 0 [4pt]0 & 1 = I2,
cujo autovalor é 1,1. Como 1,-1neq1,1, vemos que os autovalores mudam.]

Resposta

Falsa.

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