Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Os autovalores de uma matriz
são iguais aos autovalores da forma escalonada reduzida obtida de
.
Os autovalores de uma matriz
Passo 1
O enunciado pergunta se, dada uma matriz
, os autovalores de
coincidem com os autovalores da forma escalonada reduzida (RREF) de
. O conteúdo é teoria de autovalores e como eles se comportam sob transformações de matrizes.
Passo 2
A RREF de
é obtida aplicando operações elementares de linha, ou seja, existe uma sequência de matrizes elementares invertíveis
tais que
Por outro lado, autovalores são preservados apenas por transformações de similaridade, ou seja, quando fazemos
com
invertível. Note que multiplicar
apenas à esquerda por
não é uma transformação de similaridade, pois não há a multiplicação por
à direita, logo não se preserva o polinômio característico
.
Passo 3
Como contraponto, considere o exemplo concreto
Os autovalores de
são as raízes de
ou seja,
. Já a RREF de
é
cujo autovalor é
. Como
, vemos que os autovalores mudam.]
Resposta
Falsa.