Um operador linear sobre , tem as seguintes propriedades: tem autovalores e autovetores ambos associados a 2 e v3=[c0 1 -1] associado a -1 . Mostre que T é diagonalizável e usando a diagonalização determine T([lx y z] ).
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 com autovalores 2 (multiplicidade algébrica 2) e -1, e autovetores
v1=312, v2=1-10
associados a lambda=2, e
v3=01-1
associado a lambda=-1.
O conteúdo é diagonalização de operador linear: para resolver, vamos mostrar que v1,v2,v3 é uma base de autovetores (logo T é diagonalizável) e em seguida usar a forma T=PDP^-1 para achar explicitamente T(x,y,z).
Passo 2
Primeiro, notamos que v1 e v2 não são múltiplos um do outro, e v3 tem autovalor diferente de v1,v2, portanto v1,v2,v3 é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^3. Assim formam base de autovetores e T é diagonalizável. Podemos montar