Um operador linear sobre R^3, tem as seguintes propriedades: tem autovalores 2-1 e autovetores v1=[l3 1 2], v2=[c1 -1 0] ambos associados a 2 e v3=[c0 1 -1] associado a -1 . Mostre que T é diagonalizável e usando a diagonalização determine T([lx y z] ).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 com autovalores 2 (multiplicidade algébrica 2) e -1, e autovetores
v1=312, v2=1-10
associados a lambda=2, e
v3=01-1
associado a lambda=-1.
O conteúdo é diagonalização de operador linear: para resolver, vamos mostrar que v1,v2,v3 é uma base de autovetores (logo T é diagonalizável) e em seguida usar a forma T=PDP^-1 para achar explicitamente T(x,y,z).

Passo 2

Primeiro, notamos que v1 e v2 não são múltiplos um do outro, e v3 tem autovalor diferente de v1,v2, portanto v1,v2,v3 é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^3. Assim formam base de autovetores e T é diagonalizável. Podemos montar
P=l[v1;v2;v3r] = 3 & 1 & 0 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 , D=diag(2,2,-1)
e então T=PDP^-1.

Passo 3

Para achar , escrevemos
e resolvemos o sistema
Dessa forma encontra-se

Passo 4

Como T(v1)=2v1, T(v2)=2v2 e T(v3)=-1cdot v3, temos
Tl(x,y,zr) =2acdot v1+2bcdot v2- ccdot v3
Substituindo a,b,c e somando as componentes, obtemos
Tl(x,y,zr) = 2x[6pt] - x + y + 2z[6pt] x + y ]

Resposta

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