Para cada um dos seguintes operadores encontre todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
T: R^3 R^3, T([lx y z])=[cx-y 2 x+3 y x+5 y]

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^3toR^3, Tl([x,y,z]^Tr)=l[x - y,;2x + 3y,;x + 5yr]^T
Queremos encontrar todos os autovalores lambda (ra-zes do polin’omio caracter’istico) e, para cada um, uma base do autoespa’co ker(T - lambda I). Para isso, usamos a matriz de T na base can’onica, calculamos det(A - lambda I) e depois resolvemos (A - lambda I)v=0.

Passo 2

Matriz de T na base canônica e1,e2,e3 é
A = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 0 1 & 5 & 0 ,
pois T(e1)=[1,2,1]^T, T(e2)=[-1,3,5]^T e T(e3)=[0,0,0]^T.

Passo 3

Calculemos o polinômio característico
chi(lambda)=det(A - lambda I) =det 1-lambda & -1 & 0 2 & 3-lambda & 0 1 & 5 & -lambda
Expandindo pela terceira coluna ou direto, obtém-se
chi(lambda) =(1-lambda)l((3-lambda)(-lambda)r) -(-1)l(2(-lambda)r) =-lambdal(lambda^2-4lambda+5r)

Passo 4

As raízes de chi(lambda)=0 são
lambda1=0, lambda^2-4lambda+5=0 ;Longrightarrow; lambda2,3=2pm i
Portanto, em C^3 há três autovalores: 0, 2+i e 2-i. Em R^3, o único autovalor real é lambda=0.

Passo 5

Autoespaço para : resolvemos
As equações são
,
,
.
Da primeira . Substituindo em , logo e fica livre.
Assim

Passo 6

Autoespaços complexos para lambda=2pm i:
Para lambda=2+i resolvemos (A-(2+i)I)v=0. Um cálculo dá
v2+i = 5-5-5i-13-6i
como gerador de E2+i.
Analogamente, para lambda=2-i obtemos
v2-i = 5-5+5i-13+6i
gerando E2-i.

Resposta

Autovalores e bases dos respectivos autoespaços:
lambda1=0,
E0 = spanl(0,0,1)r
lambda2=2+i,
E2+i = spanl,(5,,-5-5i,,-13-6i)r
lambda3=2-i,
E2-i = spanl,(5,,-5+5i,,-13+6i)r

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