Use diagonalização para determinar a solução do sistema de equações diferenciais dado.
cccx^prime & = & 5 x-8 y y^prime & = & -2 x+5 y x0=1 & e & y0=1

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x' = 5x - 8y, y' = -2x + 5y, x(0)=1, y(0)=1,
que podemos escrever em forma matricial como X' = AX, onde
A = 5 & -8 -2 & 5,
e X(0) = (1,1)^T. O método de diagonalização consiste em achar uma base de autovetores de A, escrever A = P,D,P^-1 com D diagonal, e então resolver diretamente Y' = DY em coordenadas próprias.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!5-lambda & -8 -2 & 5-lambda = (5-lambda)^2 - (-8)(-2) = (5-lambda)^2 -16
Impondo det(A-lambda I)=0 obtemos
(5-lambda)^2 =16 Longrightarrow 5-lambda = pm4 Longrightarrow lambda1 = 9,;lambda2 = 1

Passo 3

Para lambda1=9, resolvemos (A-9I)v=0:
-4 & -8 -2 & -4 v1 v2 =0 ;Longrightarrow; v1 + 2v2 = 0 ;Longrightarrow; v^(1) = -21
Para lambda2=1, resolvemos (A-I)v=0:
4 & -8 -2 & 4 v1 v2 =0 ;Longrightarrow; v1 - 2v2 = 0 ;Longrightarrow; v^(2) = 21

Passo 4

Montamos P = l[v^(1);|;v^(2)r] = -2 & 2 1 & 1.
O inverso é
P^-1 = 1-41 & -2 -1 & -2 = -tfrac14 & tfrac12 tfrac14 & tfrac12
As coordenadas iniciais em base própria são
c = P^-1,X(0) = -tfrac14 & tfrac12 tfrac14 & tfrac12 11 = tfrac14 tfrac34

Passo 5

Em coordenadas próprias a solução é
Y(t) = c1 e^lambda1 t[6pt] c2 e^lambda2 t = tfrac14 e^9t[6pt] tfrac34 e^t
Voltando a X = P,Y obtemos
X(t) = c1 e^9t-21 + c2 e^t21 = -2l(tfrac14 e^9tr) + 2l(tfrac34 e^tr)[6pt] ;;tfrac14 e^9t + tfrac34 e^t = -tfrac12 e^9t + tfrac32 e^t[6pt] tfrac14 e^9t + tfrac34 e^t ]

Resposta

x(t) = -tfrac12,e^9t ;+;tfrac32,e^t, y(t) = tfrac14,e^9t ;+;tfrac34,e^t

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