b) Considere o subconjunto S=(x, y, z) / x=3 y e z=-2 y do R^3. Prove que S é um subespaço do R^3. Determine uma base e dimensão para S .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar o conjunto S = (x, y, z) mid x = 3y e z = -2y no espaço tridimensional R^3 . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos verificar se S é um subespaço de R^3 e depois encontrar uma base e a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa S ser um subespaço de R^3 . Um subespaço precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: o vetor (0, 0, 0) deve estar em S .
  2. Fechado sob adição: se u e v estão em S , então u + v também está em S .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se u está em S e c é um escalar, então cu também está em S .
Vamos verificar cada uma dessas condições para S .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se (0, 0, 0) está em S .
Substituindo y = 0 na definição de S :
x = 3(0) = 0 z = -2(0) = 0
Então, (0, 0, 0) está em S . ✔️

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Pensemos em dois vetores quaisquer em S :
u = (3y1, y1, -2y1) v = (3y2, y2, -2y2)
Somando u + v :
(3y1 + 3y2, y1 + y2, -2y1 - 2y2) = (3(y1 + y2), y1 + y2, -2(y1 + y2))
Observe que x = 3(y1 + y2) e z = -2(y1 + y2) , então u + v também está em S . ✔️

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um vetor qualquer de S por um escalar c :
c cdot u = c cdot (3y, y, -2y) = (3(cy), cy, -2(cy))
Aqui, x = 3(cy) e z = -2(cy) , então cu também está em S . ✔️

Passo 6

Como S satisfaz todas as três condições, podemos concluir que S é realmente um subespaço de R^3 .

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma base para S . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o subespaço.
Observando a definição de S , podemos expressar qualquer vetor em S em função de y :
(x, y, z) = (3y, y, -2y) = y cdot (3, 1, -2)
Isso mostra que todo vetor em S é múltiplo escalar de (3, 1, -2) . Então, uma base para S é:
, (3, 1, -2) ,

Passo 8

Por fim, a dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base contém apenas um vetor, a dimensão de S é 1.

Resposta

O conjunto S é um subespaço de R^3 , com base , (3, 1, -2) , e dimensão igual a 1.

Exercícios relacionados