b) Considere o subconjunto
do
. Prove que
é um subespaço do
. Determine uma base e dimensão para S .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar o conjunto
no espaço tridimensional
. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, precisamos verificar se
é um subespaço de
e depois encontrar uma base e a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser um subespaço de
. Um subespaço precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: o vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se
está em
.
Substituindo
na definição de
:
Então,
está em
. ✔️
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Pensemos em dois vetores quaisquer em
:
Somando
:
Observe que
e
, então
também está em
. ✔️
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um vetor qualquer de
por um escalar
:
Aqui,
e
, então
também está em
. ✔️
Passo 6
Como
satisfaz todas as três condições, podemos concluir que
é realmente um subespaço de
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma base para
. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o subespaço.
Observando a definição de
, podemos expressar qualquer vetor em
em função de
:
Isso mostra que todo vetor em
é múltiplo escalar de
. Então, uma base para
é:
Passo 8
Por fim, a dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como nossa base contém apenas um vetor, a dimensão de
é 1.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
, com base
e dimensão igual a 1.