b) Determine a dimensão do subespaço (ca-3 b+6 c 5 a+4 d b-2 c-d 5 d): a, b, c, d in R

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente precisa descobrir a dimensão de um subespaço específico, que é formado por vetores de quatro componentes, onde cada componente é uma combinação linear das variáveis a, b, c, d . Pra resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, dependência e independência de vetores, e o conceito de dimensão de um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o subespaço que a questão nos dá. Ele é definido por vetores da forma:
a - 3b + 6c 5a + 4d b - 2c - d 5d
Onde a, b, c, d são números reais. Nosso objetivo é descobrir quantos vetores “independentes” existem nesse conjunto, o que nos dará a dimensão do subespaço.

Passo 3

Para facilitar, vamos pensar nesses vetores como resultado de uma combinação linear das variáveis a, b, c, d . Ou seja, cada vetor é gerado a partir dessas variáveis com certos coeficientes. Podemos representar isso usando uma matriz, onde cada coluna representa o coeficiente de uma variável em cada componente do vetor.
Então, montamos a seguinte matriz:
1 & -3 & 6 & 0 5 & 0 & 0 & 4 0 & 1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 & 5

Passo 4

Agora, para encontrar a dimensão do subespaço, precisamos determinar o posto (ou rank) dessa matriz. O posto é basicamente o número de linhas não nulas após efetuar certas operações que simplificam a matriz. Isso nos dirá quantas combinações lineares dessas colunas são independentes, ou seja, quantas direções diferentes eles apontam no espaço vetorial.

Passo 5

Vamos simplificar a matriz usando operações elementares de linha:
1 & -3 & 6 & 0 5 & 0 & 0 & 4 0 & 1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 & 5
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar o 5 abaixo dela:
  • Linha 2 = Linha 2 - 5 * Linha 1
Isso fica:
1 & -3 & 6 & 0 0 & 15 & -30 & 4 0 & 1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 & 5

Passo 6

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 15:
  • Linha 2 = (1/15) * Linha 2
1 & -3 & 6 & 0 0 & 1 & -2 & 415 0 & 1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 & 5

Passo 7

Em seguida, usamos a segunda linha para eliminar o 1 da terceira linha:
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
1 & -3 & 6 & 0 0 & 1 & -2 & 415 0 & 0 & 0 & -1915 0 & 0 & 0 & 5

Passo 8

Por último, vamos simplificar a quarta linha dividindo por 5:
  • Linha 4 = (1/5) * Linha 4
1 & -3 & 6 & 0 0 & 1 & -2 & 415 0 & 0 & 0 & -1915 0 & 0 & 0 & 1

Passo 9

Agora, vemos que há 4 linhas não nulas nessa matriz simplificada. Isso significa que o posto da matriz é 4. Portanto, existem 4 vetores independentes que geram o subespaço.

Resposta

A dimensão do subespaço é 4.

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