Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente precisa descobrir a dimensão de um subespaço específico, que é formado por vetores de quatro componentes, onde cada componente é uma combinação linear das variáveis a, b, c, d . Pra resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, dependência e independência de vetores, e o conceito de dimensão de um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o subespaço que a questão nos dá. Ele é definido por vetores da forma:
a - 3b + 6c 5a + 4d b - 2c - d 5d
Onde a, b, c, d são números reais. Nosso objetivo é descobrir quantos vetores “independentes” existem nesse conjunto, o que nos dará a dimensão do subespaço.
Passo 3
Para facilitar, vamos pensar nesses vetores como resultado de uma combinação linear das variáveis a, b, c, d . Ou seja, cada vetor é gerado a partir dessas variáveis com certos coeficientes. Podemos representar isso usando uma matriz, onde cada coluna representa o coeficiente de uma variável em cada componente do vetor.
Agora, para encontrar a dimensão do subespaço, precisamos determinar o posto (ou rank) dessa matriz. O posto é basicamente o número de linhas não nulas após efetuar certas operações que simplificam a matriz. Isso nos dirá quantas combinações lineares dessas colunas são independentes, ou seja, quantas direções diferentes eles apontam no espaço vetorial.
Passo 5
Vamos simplificar a matriz usando operações elementares de linha:
Agora, vemos que há 4 linhas não nulas nessa matriz simplificada. Isso significa que o posto da matriz é 4. Portanto, existem 4 vetores independentes que geram o subespaço.