Faça o que se pede
b) Dê um conjunto de geradores para o subespaço vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar um conjunto de geradores para o subespaço vetorial H , que é definido como o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 que têm a forma:
H = a & a + b b + c & c ; a, b, c in R
Aqui estamos lidando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais e conjuntos de geradores. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar qualquer matriz em H como uma combinação linear de algumas matrizes básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma matriz em H . Cada matriz em H é definida por três números reais: a , b e c . Então, qualquer matriz M em H pode ser escrita como:
M = a & a + b b + c & c
Passo 3
Para encontrar um conjunto de geradores, queremos descobrir algumas matrizes fixas que, através de combinações lineares (isto é, somas e multiplicações por escalares), consigamos formar qualquer matriz M em H .
Passo 4
Vamos então expressar M em termos de a , b e c :
M = a 1 & 1 0 & 0 + b 0 & 1 1 & 0 + c 0 & 0 1 & 1
Aqui, estamos decomposto M em três componentes, cada uma multiplicada por uma das variáveis a , b ou c .
Passo 5
Cada uma dessas matrizes multiplicadas por a , b e c representa um gerador. Ou seja, qualquer matriz em H pode ser construída combinando essas três matrizes básicas. Isso significa que nosso conjunto de geradores consiste justamente nessas três matrizes.