Verifique o Teorema do Núcleo e Imagem para esta transformação.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede para verificar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão). Para isso precisamos achar explicitamente o núcleo de (solução de ) e a imagem de (espaço gerado pelas colunas da matriz de ), além de suas dimensões.
Passo 2
Primeiro escrevemos a matriz associada a
Para encontrar , resolvemos . O sistema é
Aplicando eliminacão de Gauss em , ou seja . Da primeira linha dá . Logo
Assim
Passo 3
A imagem de é o espaço coluna de . Como a redução mostrou dois pivôs (colunas 1 e 2 são independentes), temos . Um conjunto gerador (e na verdade base) é dado pelas colunas originais correspondentes aos pivôs:
Passo 4
O Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão) diz que