Considere a transformação linear
T(x, y, z)=(x-2 y+z, 2 x+y-3 z, 3 x-y-2 z)
Verifique o Teorema do Núcleo e Imagem para esta transformação.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x - 2y + z,;2x + y - 3z,;3x - y - 2z),
e pede para verificar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão). Para isso precisamos achar explicitamente o núcleo de T (solução de T(x,y,z)=0) e a imagem de T (espaço gerado pelas colunas da matriz de T), além de suas dimensões.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz associada a
Para encontrar , resolvemos . O sistema é
Aplicando eliminacão de Gauss em , ou seja . Da primeira linha . Logo
Assim

Passo 3

A imagem de é o espaço coluna de . Como a redução mostrou dois pivôs (colunas 1 e 2 são independentes), temos . Um conjunto gerador (e na verdade base) é dado pelas colunas originais correspondentes aos pivôs:

Passo 4

O Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão) diz que
dimker(T) + dimIm(T) = dimR^3 = 3
Aqui dimker(T)=1 e dimIm(T)=2, de modo que
1 + 2 = 3,
logo o teorema está verificado.

Resposta

O núcleo e a imagem de são:
E de fato , que é .

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