B. 4 Para a constante complexa
, prove:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que a gente prove uma identidade envolvendo a parte real de um número complexo. Dados e pedidos:
- Dado: uma constante complexa
. - Símbolo disponível: o conjugado de
é indicado por . - Pedido: provar que
Passo 2
Primeiro vamos lembrar e fixar o que significam os símbolos — devagarinho, como num passo a passo de receita.
- Todo número complexo
pode ser escrito na forma
onde
e
são números reais,
é a unidade imaginária com
.
- Por definição, a parte real de
é . Em notação:
- O conjugado de
, que aqui chamamos de , troca o sinal da parte imaginária:
(Se isso ficou meio abstrato, segue um exemplo concreto nos próximos passos.)
Passo 3
Agora calculemos a soma
usando as formas em componentes que acabamos de escrever. Substituindo
e
obtemos:
Vamos juntar termos iguais: some as partes reais e some as partes imaginárias separadamente.
Passo 4
Somando as partes real e imaginária no membro anterior:
Aqui
, porque as partes imaginárias se cancelam, e
. Portanto
Passo 5
Dividindo ambos os lados da igualdade anterior por
temos
Mas lembramos do Passo 2 que
. Substituindo, concluímos
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição: tome
. Então
. Somando temos
. Metade disso é
, que é exatamente a parte real de
. Visualmente, o conjugado reflete o ponto no plano complexo em relação ao eixo real, e a média
projeta o número sobre o eixo real — ou seja, pega a parte real.