B. 4 Para a constante complexa w, prove:
(a) \operatorname{Re}(w)=\left(w+w^{*}\right) / 2

Passo 1

O enunciado pede que a gente prove uma identidade envolvendo a parte real de um número complexo. Dados e pedidos:
  • Dado: uma constante complexa w.
  • Símbolo disponível: o conjugado de w é indicado por w^{*}.
  • Pedido: provar que
\operatorname{Re}(w)=\frac{w+w^{*}}{2}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e fixar o que significam os símbolos — devagarinho, como num passo a passo de receita.
  • Todo número complexo w pode ser escrito na forma
w = x + i y,
onde x e y são números reais, i é a unidade imaginária com i^{2}=-1.
  • Por definição, a parte real de w é x. Em notação:
\operatorname{Re}(w)=x.
  • O conjugado de w, que aqui chamamos de w^{*}, troca o sinal da parte imaginária:
w^{*}=x - i y.
(Se isso ficou meio abstrato, segue um exemplo concreto nos próximos passos.)

Passo 3

Agora calculemos a soma w+w^{*} usando as formas em componentes que acabamos de escrever. Substituindo w=x+iy e w^{*}=x-iy obtemos:
w + w^{*} = (x + i y) + (x - i y).
Vamos juntar termos iguais: some as partes reais e some as partes imaginárias separadamente.

Passo 4

Somando as partes real e imaginária no membro anterior:
(x + i y) + (x - i y) = (x + x) + (i y - i y).
Aqui i y - i y = 0, porque as partes imaginárias se cancelam, e x+x=2x. Portanto
w + w^{*} = 2x.

Passo 5

Dividindo ambos os lados da igualdade anterior por 2 temos
\frac{w + w^{*}}{2} = x.
Mas lembramos do Passo 2 que x = \operatorname{Re}(w). Substituindo, concluímos
\frac{w + w^{*}}{2} = \operatorname{Re}(w).

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição: tome w=3+4i. Então w^{*}=3-4i. Somando temos w+w^{*}=6. Metade disso é 3, que é exatamente a parte real de w. Visualmente, o conjugado reflete o ponto no plano complexo em relação ao eixo real, e a média (w+w^{*})/2 projeta o número sobre o eixo real — ou seja, pega a parte real.

Resposta

\operatorname{Re}(w)=\dfrac{w+w^{*}}{2}

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