B. 3 Escreva os seguintes números na forma Cartesiana:
(b) 1 / e^{j}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo dado na forma cartesiana.
Dado: 1 / e^{j}.
Pedido: escrever esse número na forma cartesiana (a + j b), isto é, encontrar os números reais a e b tais que o número seja a + j b.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a base e é a constante de Euler, j é a unidade imaginária (ou seja, j^2=-1) e o expoente 1 é um ângulo em radianos.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a fórmula de Euler. Ela relaciona exponencial complexa com funções trigonométricas:
e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta.
Explicando os símbolos: \theta é um ângulo (em radianos), \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas (valores reais), e j indica a parte imaginária. Essa fórmula é fundamental para passar entre a forma polar/exponencial (re^{j\theta}) e a forma cartesiana (a + j b).

Passo 3

Aplicando a fórmula de Euler com \theta = 1 (pois temos e^{j}, que é e^{j\cdot 1}):
e^{j} = \cos 1 + j\sin 1.
Portanto o denominador e^{j} já pode ser visto em forma cartesiana como \cos 1 + j\sin 1.

Passo 4

Agora vamos inverter e^{j}. Usando a propriedade das potências,
\frac{1}{e^{j}} = e^{-j}.
Aplicando a fórmula de Euler para e^{-j} (ou usando paridade das funções trigonométricas),
e^{-j} = \cos(-1) + j\sin(-1).
Como \cos é função par ( \cos(-1)=\cos 1) e \sin é ímpar ( \sin(-1)=-\sin 1), obtemos
e^{-j} = \cos 1 - j\sin 1.
Esse já é exatamente o número na forma cartesiana: parte real \cos 1 e parte imaginária -\sin 1.

Passo 5

(Jeito alternativo — útil se você não lembrar diretamente que 1/e^{j}=e^{-j}). Começamos de
\frac{1}{e^{j}}=\frac{1}{\cos 1 + j\sin 1}.
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador (\cos 1 - j\sin 1):
\frac{1}{\cos 1 + j\sin 1}\cdot\frac{\cos 1 - j\sin 1}{\cos 1 - j\sin 1} =\frac{\cos 1 - j\sin 1}{\cos^2 1 + \sin^2 1}.
Como \cos^2 1 + \sin^2 1 = 1, o resultado é
\cos 1 - j\sin 1,
mesmo que obtivemos antes.

Passo 6

Vamos dar uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor numérico). Usando valores aproximados:
\cos 1 \approx 0,5403023059 e \sin 1 \approx 0,8414709848. Então
\frac{1}{e^{j}} \approx 0,5403023059 - j\,0,8414709848.
Arredondando a 4 casas decimais (com vírgula como separador decimal, estilo usado no enunciado):
\frac{1}{e^{j}} \approx 0,5403 - j\,0,8415.

Resposta

\cos 1 - j\sin 1
\approx 0,5403 - j\,0,8415

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