B. 3 Escreva os seguintes números na forma Cartesiana:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número complexo dado na forma cartesiana.
Dado: .
Pedido: escrever esse número na forma cartesiana , isto é, encontrar os números reais
e
tais que o número seja
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a base é a constante de Euler,
é a unidade imaginária (ou seja,
) e o expoente
é um ângulo em radianos.
Dado:
Pedido: escrever esse número na forma cartesiana
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a base
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a fórmula de Euler. Ela relaciona exponencial complexa com funções trigonométricas:
Explicando os símbolos:
é um ângulo (em radianos),
e
são as funções trigonométricas (valores reais), e
indica a parte imaginária. Essa fórmula é fundamental para passar entre a forma polar/exponencial
e a forma cartesiana
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Euler com
(pois temos
, que é
):
Portanto o denominador
já pode ser visto em forma cartesiana como
.
Passo 4
Agora vamos inverter
. Usando a propriedade das potências,
Aplicando a fórmula de Euler para
(ou usando paridade das funções trigonométricas),
Como
é função par (
) e
é ímpar (
), obtemos
Esse já é exatamente o número na forma cartesiana: parte real
e parte imaginária
.
Passo 5
(Jeito alternativo — útil se você não lembrar diretamente que
). Começamos de
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador
:
Como
, o resultado é
mesmo que obtivemos antes.
Passo 6
Vamos dar uma aproximação numérica (útil na prova se pedirem valor numérico). Usando valores aproximados:
e
. Então
Arredondando a 4 casas decimais (com vírgula como separador decimal, estilo usado no enunciado):