B) Dados os vetores u1=(2,-1), u2=(1,1), u3=(-1,-4), v1=(1,3), v2=(2,3) :
b1) Se v3=(5,-6), existe uma transformação linear F: R^2 R^2 tal que F(u1)=v1, F(u2)=v2, F(u3)=v3 ث

Passo 1

O enunciado dá os vetores
,u1=(2,-1), u2=(1,1), u3=(-1,-4) e
,v1=(1,3), v2=(2,3), v3=(5,-6),
e pergunta se existe F:R^2toR^2 linear tal que F(ui)=vi para i=1,2,3.
Para que isso ocorra, toda relação de dependência linear entre os ui deve ser respeitada pelas imagens vi.

Passo 2

Verificamos que em R^2 três vetores são necessariamente linearmente dependentes. Buscamos a,b tais que
u3=(-1,-4)=a,(2,-1)+b,(1,1)
Isso gera o sistema
2a + b = -1,
-,a + b = -4
Da segunda equação obtemos b = -4 + a. Substituindo na primeira,
2a + (-4 + a) = -1 ;Longrightarrow; 3a = 3 ;Longrightarrow; a = 1,
logo b = -4 + 1 = -3. Assim
u3 = 1cdot u1 + (-3)cdot u2

Passo 3

Se F for linear, deve valer
F(u3) = Fl(1cdot u1 -3cdot u2r) = 1cdot F(u1) ;-;3cdot F(u2) = v1 - 3,v2
Calculamos
v1 - 3,v2 = (1,3) -3,(2,3) = (1-6,;3-9) = (-5,,-6)
Mas o enunciado pede F(u3)=v3=(5,-6), que difere de (-5,-6). Logo não há como definir F linear que envie u3 em (5,-6).

Resposta

Não existe transformação linear FcolonR^2toR^2 satisfazendo as três condições dadas.

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