Verifique se as transformações abaixo são lineares:
a) F: R^3 R, F(x, y, z)=x+3 y+4 z square

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Fcolon R^3 to R, F(x,y,z)=x+3y+4z
e pede para verificar se F é linear. Para isso vamos usar a definição: F é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^3 e escalar alpha, valem
F(u+v)=F(u)+F(v)
e
F(alpha u)=alpha,F(u)

Passo 2

Verificação da aditividade. Tome
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
F(u+v)=(x1+x2)+3(y1+y2)+4(z1+z2)
=,x1+3y1+4z1 ;+;x2+3y2+4z2
=,F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2)
logo F(u+v)=F(u)+F(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphainR e u=(x,y,z). Então
alpha,u=(alpha x,alpha y,alpha z)
e
F(alpha u)=alpha x+3(alpha y)+4(alpha z)
=,alpha,(x+3y+4z)
=,alpha,F(x,y,z)
portanto F(alpha u)=alpha,F(u).

Resposta

Sim, F é uma transformação linear.

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