Questão 14

Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Abaixo são dadas algumas matrizes e alguns de seus autovalores. Determine a dimensào dos auto-espaços associados a cada autovalor.
& a) (ll 5 & 0 2 & 1 ), lambda1=1, lambda2=5 & dim V(1)=square & dim V(5)= & square & b) (rr 4 & -2 -3 & 9 ), lambda=10 & dim V(10)= & square & c) (rrr 4 & 2 & 3 -1 & 1 & -3 2 & 4 & 9 ), lambda=3 & dim V(3)= & square & d) (rrr 8 & -10 & -5 2 & 17 & 2 -9 & -18 & 4 ) lambda1=3, lambda2=13 & dim V(3)= & dim V(13)= & e) (rrrrr 4 & -9 & -7 & 8 & 2 -7 & -9 & 0 & 7 & 14 5 & 10 & 5 & -5 & -10 -2 & 3 & 7 & 0 & 4 -3 & -13 & -7 & 10 & 11 ) lambda1=-2, lambda2=5 & dim V(-2)= & dim V(5)=

Passo 1

O enunciado pede a dimensão dos autoespaços para cada matriz e autovalor dado. Para cada caso, vamos montar , usar eliminação de Gauss para encontrar o posto e então calcular
sendo a ordem da matriz.

Passo 2

Para a matriz
temos para :
o posto é e , logo .
Para :
também com , portanto .

Passo 3

Para
com montamos
As linhas são proporcionais, então em e .

Passo 4

Para
e montamos
Repare que cada linha é múltiplo da primeira, então e , logo .

Passo 5

Para
quando temos
e a eliminação de Gauss mostra , logo .
Para temos
e a eliminação dá , portanto .

Passo 6

Para
com formamos
aqui e assim .
Para temos
cuja eliminação dá e portanto .

Resposta

a) dim V(1)=1, dim V(5)=1
b) dim V(10)=1
c) dim V(3)=2
d) dim V(3)=1, dim V(13)=2
e) dim V(-2)=2, dim V(5)=3

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