Determine a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear abaixo:
b) F: R^3 R, F(x, y, z)=z-2 x dim Ker(F)= square dim lm(F)=
Assinale as alternativas corretas

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
Fcolon R^3 to R, F(x,y,z)=z-2x
Aqui vamos usar a definição de núcleo ( ker) e imagem ( Im) de uma transformação linear e, se quisermos, o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity).

Passo 2

Para encontrar ker(F) resolvemos
F(x,y,z)=0 Long<=ftrightarrow z-2x=0,
ou seja z=2x. Logo
ker(F)=(x,y,2x)mid x,yinR,
que depende de dois parâmetros livres ( x e y). Portanto
dimker(F)=2

Passo 3

A imagem de F é um subespaço de R. Como, por exemplo,
F(0,0,1)=1,
vemos que qualquer real pode ser alcançado, ou seja Im(F)=R. Logo
dimIm(F)=1
Alternativamente, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
dimker(F)+dimIm(F)=3
implica dimIm(F)=3-2=1.

Resposta

dimker(F)=2, dimIm(F)=1

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