Determine a dimensão do núcleo e da imagem de cada transformação linear abaixo:
b)
Assinale as alternativas corretas
b)
Assinale as alternativas corretas
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
Aqui vamos usar a definição de núcleo (
) e imagem (
) de uma transformação linear e, se quisermos, o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity).
Passo 2
Para encontrar
resolvemos
ou seja
. Logo
que depende de dois parâmetros livres (
e
). Portanto
Passo 3
A imagem de
é um subespaço de
. Como, por exemplo,
vemos que qualquer real pode ser alcançado, ou seja
. Logo
Alternativamente, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
implica
.