b) dd t(F cdot G)=d Fd t cdot G+F cdot d Gd t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada do produto escalar de duas funções vetoriais vec F(t) e vec G(t) satisfaz a regra de Leibniz para produto escalar. O conteúdo envolve derivadas de funções vetoriais e a definição de produto escalar.

Passo 2

Lembrando que, por definição, o produto escalar de vec F(t) e vec G(t) em componentes é
vec F(t) cdot vec G(t) = sumi=1^n Fi(t),Gi(t)
Como derivada de soma é soma de derivadas, temos
ddtl(vec Fcdotvec Gr) = ddtl(sumi=1^n Fi Gir) = sumi=1^n ddtl(Fi(t),Gi(t)r)

Passo 3

Para cada termo Fi(t),Gi(t) aplicamos a regra do produto de funções escalares:
ddtl(Fi,Gir) = dFidt,Gi + Fi,dGidt
Somando em i e usando novamente a definição de produto escalar, obtemos
sumi=1^n l(dFidt,Gi + Fi,dGidtr) = l(dvec Fdtr)cdotvec G + vec Fcdotl(dvec Gdtr)

Passo 4

Assim chegamos exatamente à fórmula da regra de derivação do produto escalar.

Resposta

ddt(vec Fcdotvec G)=dvec Fdtcdotvec G+vec Fcdotdvec Gdt.

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