Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}{n{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+2
Aqui vamos usar o teste de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, verificar a convergência absoluta via comparação com a série harmônica.

Passo 2

Definimos
bn = n^2n^3+2,
de modo que an=(-1)^n+1bn. Note que bn>0 para todo n, condição inicial do teste de Leibniz.

Passo 3

Calculamos o limite de bn:
limntoinftybn =limntoinftyn^2n^3+2 =limntoinfty1n+tfrac2n^2 =0
Portanto, limntoinftybn=0, outra condição do teste de Leibniz.

Passo 4

Verificamos que (bn) é decrescente para n suficientemente grande. Basta olhar a função
f(x)=x^2x^3+2
e sua derivada
f'(x) =2x(x^3+2)-x^2cdot3x^2(x^3+2)^2 =x(-x^3+4)(x^3+2)^2
Para x>=raiz[3]4approx1,6, temos -x^3+4<=0, logo f'(x)<=0. Assim bn é decrescente a partir de n>=2.
Como bn é positiva, decrescente (para n grande) e tende a zero, a série alternante converge por Leibniz.

Passo 5

Para a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|anr| =sumn=1^inftybn =sumn=1^inftyn^2n^3+2
Para grandes n,
n^2n^3+2>=n^2n^3+n^3 =12n,
e sum1/(2n) diverge (série harmônica). Logo sum bn diverge, portanto a série não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge por Leibniz, mas diverge em valor absoluto).

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