Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}{n{3}+2}
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n{2}}{n{3}+2}
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
Aqui vamos usar o teste de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, verificar a convergência absoluta via comparação com a série harmônica.
Passo 2
Definimos
de modo que
. Note que
para todo
, condição inicial do teste de Leibniz.
Passo 3
Calculamos o limite de
:
Portanto,
, outra condição do teste de Leibniz.
Passo 4
Verificamos que
é decrescente para
suficientemente grande. Basta olhar a função
e sua derivada
Para
, temos
, logo
. Assim
é decrescente a partir de
.
Como
é positiva, decrescente (para
grande) e tende a zero, a série alternante converge por Leibniz.
Passo 5
Para a convergência absoluta, consideramos
Para grandes
n ,
e
sum1/(2n) diverge (série harmônica). Logo
sum bn diverge, portanto a série não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge por Leibniz, mas diverge em valor absoluto).