Determine se a série converge ou diverge.
sumn-1^infty(-1)^n-1 nn^2+4

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série\r
sumn=1^infty(-1)^n-1nn^2+4 \r
O conteúdo aqui é o Teste de Leibniz (ou critério das séries alternadas). Para aplicá-lo, precisamos verificar que a sequência dos termos gerais positivos\r
an=nn^2+4 \r
satisfaz (i) limntoinftyan=0 e (ii) que an é monoticamente decrescente a partir de algum n.

Passo 2

Calculamos o limite dos termos gerais:\r
limntoinftyan =limntoinftynn^2+4 =limntoinfty1n+4/n =0 \r
Logo, o primeiro requisito do teste de Leibniz está satisfeito.

Passo 3

Para ver que an é decrescente para n grande, considere a função\r
f(x)=xx^2+4, x>0 \r
Derivando,\r
f'(x) =(x^2+4)-2x^2(x^2+4)^2 =4-x^2(x^2+4)^2 \r
Temos f'(x)<0 sempre que x>2. Isso mostra que an=f(n) é decrescente para n>=3. Eventuais primeiras comparações manuais de a1,a2,a3 não são essenciais, pois o teste de Leibniz só exige decrescimento a partir de algum índice fixo.

Passo 4

Pelos critérios do Teste de Leibniz, como an>=0, limntoinftyan=0 e an decresce para n grande, concluímos que\r
sumn=1^infty(-1)^n-1an \r
converge.

Passo 5

Para verificar se a convergência é absoluta, note que\r
sumn=1^inftygl|nn^2+4gr| =sumn=1^inftynn^2+4 \r
compara-se com sum1/n. Como \r
limntoinftyn/(n^2+4)1/n =limntoinftyn^2n^2+4 =1, \r
pela Comparação Límitada essa série diverge. Portanto a convergência não é absoluta, mas condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz.

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