Considere o campo de vetores F(x, y)=(xraizx^2+y^2, yraizx^2+y^2) definido em R^2 exceto em (0,0).
(a) Desenhe o campo vetorial F em uma quantidade representativa de pontos da circunferência de centro na origem e raio a>0.
(b) Calcule integralC F cdot d r, sendo C a circunferência de centro na origem e raio a>0, percorrida no sentido anti-horário. (Resp.: 0.)
(c) Você poderia obter o resultado encontrado no item (b) sem calcular nenhuma integral de linha? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial F(x,y)=l(x/raizx^2+y^2,,y/raizx^2+y^2r) em R^2setminus(0,0) e pede: (a) desenhar as setas de F numa circunferência de raio a>0; (b) calcular a integral de linha integralC Fcdot d r em torno dessa circunferência (sentido anti-horário); (c) justificar sem calcular a integral. Vamos usar coordenadas polares, parametrização de curva e a ideia de campo conservativo para resolver.

Passo 2

Na circunferência de raio a, todo ponto é (x,y)=(acos t,asin t). Então | (x,y)|=a e F(x,y)=l(x/a,,y/ar)=(cos t,sin t). Ou seja, em cada ponto da circunferência a seta tem módulo 1 e aponta radialmente para fora (na direção (cos t,sin t)).

Passo 3

Para calcular integralC Fcdot d r, parametrize C por r(t)=(acos t,asin t), tin[0,2pi]. Logo d r=(-asin t,,acos t),dt e F( r(t))=(cos t,sin t). O produto escalar é
F( r(t))cdot d r = (cos t,sin t)cdot(-asin t,acos t),dt = -acos tsin t,dt + asin tcos t,dt = 0,dt
Portanto
integral0^2pi0,dt = 0

Passo 4

Sem fazer essa integral, dá para ver que F=nabla f com f(x,y)=raizx^2+y^2. Ou seja, F é um campo conservativo em R^2setminus0. Pelo teorema fundamental das integrais de linha, a integral ao longo de qualquer curva fechada num domínio onde exista potencial é zero.

Resposta

(a) Vetores unitários apontando radialmente para fora ao longo da circunferência de raio a. (b) 0. (c) Sim. Como F=nablaraizx^2+y^2 é conservativo, a integral em curva fechada é zero.

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