Considere o campo de vetores
definido em
exceto em
.
(a) Desenhe o campo vetorial
em uma quantidade representativa de pontos da circunferência de centro na origem e raio
.
(b) Calcule
, sendo C a circunferência de centro na origem e raio
, percorrida no sentido anti-horário. (Resp.: 0.)
(c) Você poderia obter o resultado encontrado no item (b) sem calcular nenhuma integral de linha? Justifique sua resposta.
(a) Desenhe o campo vetorial
(b) Calcule
(c) Você poderia obter o resultado encontrado no item (b) sem calcular nenhuma integral de linha? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial
em
e pede: (a) desenhar as setas de
numa circunferência de raio
; (b) calcular a integral de linha
em torno dessa circunferência (sentido anti-horário); (c) justificar sem calcular a integral. Vamos usar coordenadas polares, parametrização de curva e a ideia de campo conservativo para resolver.
Passo 2
Na circunferência de raio
, todo ponto é
. Então
e
. Ou seja, em cada ponto da circunferência a seta tem módulo 1 e aponta radialmente para fora (na direção
).
Passo 3
Para calcular
, parametrize
por
,
. Logo
e
. O produto escalar é
Portanto
Passo 4
Sem fazer essa integral, dá para ver que
com
. Ou seja,
é um campo conservativo em
. Pelo teorema fundamental das integrais de linha, a integral ao longo de qualquer curva fechada num domínio onde exista potencial é zero.
Resposta
(a) Vetores unitários apontando radialmente para fora ao longo da circunferência de raio
. (b) 0. (c) Sim. Como
é conservativo, a integral em curva fechada é zero.