Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo.
f(x)=\frac{2 x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
f(x)=\frac{2x}{x^2-1}.
O conteúdo envolvido é análise de gráfico de função racional: vamos precisar determinar domínio, interceptos, assíntotas, estudar sinais e limites laterais para depois esboçar as curvas.

Passo 2

Domínio e interceptos
A função está definida sempre que o denominador for não nulo, isto é,
x^2-1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm1,
logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\}.
Para achar intercepto em x (raízes), resolvemos 2x=0, que dá x=0. Então o gráfico passa por (0,0). Como f(0)=0, esse é também o intercepto em y.

Passo 3

Assíntotas
  1. Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera:
x=-1\quad\text{e}\quad x=1.
  1. Como o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), há assíntota horizontal em
y=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x}{x^2-1}=0.

Passo 4

Sinal e comportamento junto às assíntotas
Estudamos quatro intervalos: (-\infty,-1), (-1,0), (0,1) e (1,\infty).
  • Em (-\infty,-1): escolha x=-2, \,f(-2)=-4/3<0. Além disso,
    \lim_{x\to-\infty}f(x)=0^- e \lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty.
  • Em (-1,0): escolha x=-\tfrac12, \,f(-\tfrac12)=(-1)/( -\tfrac34)=+\tfrac43>0. E
    \lim_{x\to-1^+}f(x)=+\infty,\;\lim_{x\to0^-}f(x)=0^+.
  • Em (0,1): escolha x=\tfrac12, \,f(\tfrac12)=1/(-\tfrac34)=-\tfrac43<0. E
    \lim_{x\to0^+}f(x)=0^-,\;\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty.
  • Em (1,\infty): escolha x=2, \,f(2)=4/3>0. E
    \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty,\;\lim_{x\to+\infty}f(x)=0^+.

Passo 5

Esboço do gráfico
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Desenhe as linhas tracejadas x=-1 e x=1 (assíntotas verticais) e y=0 (assíntota horizontal).
  3. Para cada intervalo:
  • x<–1: ramo abaixo do eixo x, vindo de y=0^- e indo a -\infty quando x\to-1^-.
  • –1<x<0: ramo acima do eixo, indo de +\infty em x\to-1^+ e entrando em (0,0).
  • 0<x<1: ramo abaixo do eixo, saindo de (0,0) e caindo para -\infty em x\to1^-.
  • x>1: ramo acima do eixo, vem de +\infty em x\to1^+ e aproxima-se de y=0^+ quando x\to+\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=\tfrac{2x}{x^2-1} tem:
– domínio \mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\},
– intercepto em (0,0),
– assíntotas verticais em x=-1 e x=1,
– assíntota horizontal em y=0,
com quatro ramos descritos acima.

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